Σημείο καμπής

KARKAR · #1

: Σημείο καμπής.png (6.82 KiB) Προβλήθηκε 1288 φορές

Μέσα στο - διαστάσεων $a \times b$ - ορθογώνιο ABCD

, να γράψετε καμπύλη , απαρτιζόμενη από

δύο κυκλικά τόξα , έτσι ώστε το κέντρο του ορθογωνίου

να είναι σημείο καμπής της καμπύλης .

#2

: Σ.Κ.1.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

είναι τα κέντρα των τόξων. Το πρόβλημα έχει λύση όταν τα τόξα δεν τέμνουν

τις πλευρές AD, BC

σε εσωτερικά σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle \frac{a}{b} \ge \sqrt 3 .$

Al.Koutsouridis · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 11, 2021 5:37 pm
Το πρόβλημα έχει λύση όταν τα τόξα δεν τέμνουν

τις πλευρές σε εσωτερικά σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle \frac{a}{b} \ge \sqrt 3 .$

Νομίζω το πρόβλημα έχει λύση πάντα, αν υποθέσουμε ότι η καμπύλη μας ξεκινάει και τελειώνει στα άκρα μιας διαγωνίου. Αρκεί τα κέντρα K.L

να είναι αρκούντως μακρυά από την διαγώνιο.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 11, 2021 6:25 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 11, 2021 5:37 pm
Το πρόβλημα έχει λύση όταν τα τόξα δεν τέμνουν

τις πλευρές σε εσωτερικά σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle \frac{a}{b} \ge \sqrt 3 .$
Νομίζω το πρόβλημα έχει λύση πάντα, αν υποθέσουμε ότι η καμπύλη μας ξεκινάει και τελειώνει στα άκρα μιας διαγωνίου. Αρκεί τα κέντρα να είναι αρκούντως μακρυά από την διαγώνιο.

Σωστά. Τώρα διάβασα ξανά την εκφώνηση. Είχα την εντύπωση ότι η η καμπύλη έπρεπε να εφάπτεται στην άλλη διαγώνιο, γι αυτό έφερα και την κάθετη πάνω σε αυτήν.

Christos.N · #5

Κρίνοντας από κάποια λεπτομέρεια στο σχήμα που ανέβασε ο Θανάσης μάλλον θέλει τα κέντρα στις πλευρές του ορθογωνίου.

Γενικά ο Θανάσης τον τελευταίο καιρό θέλει....

Θανάση πολύ φιλικά.

#6

Κάνω ξανά την κατασκευή γιατί είχα κατανοήσει λάθος το πρόβλημα.

: Σ.Κ.1.png (16.03 KiB) Προβλήθηκε 1183 φορές

Φέρνω τη μεσοκάθετο του

και θεωρώ σημείο

ώστε το τόξο $\overset\frown{AS}$ κέντρου

και ακτίνας

να μην επανατέμνει την πλευρά

AD.

Η

τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

όπου ομοίως γράφω το τόξο $\overset\frown{SC}$ και ολοκληρώνεται η κατασκευή της καμπύλης.

KARKAR · #7

Ωραία Γιώργο

Μπορούμε τώρα να ζητήσουμε εκείνη την καμπύλη που εφάπτεται των πλευρών

και

.

Ακριβέστερα να υπολογίσουμε την ακτίνα των κύκλων στους οποίους ανήκουν τα κόκκινα τόξα .

Στην ουσία ζητάμε την ελάχιστη ακτίνα για την οποία η καμπύλη δεν εξέρχεται του ορθογωνίου .

Η λεπτομέρεια στο σχήμα που αναφέρει ο Χρήστος είναι η διάμετρος του κύκλου του κάτω τόξου

που βρίσκεται πάνω στην . Φταίω και εγώ , φταίει και η ισχυρή όραση του Χρήστου

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 11, 2021 7:20 pm
Ωραία Γιώργο

Μπορούμε τώρα να ζητήσουμε εκείνη την καμπύλη που εφάπτεται των πλευρών και .

Ακριβέστερα να υπολογίσουμε την ακτίνα των κύκλων στους οποίους ανήκουν τα κόκκινα τόξα .

Στην ουσία ζητάμε την ελάχιστη ακτίνα για την οποία η καμπύλη δεν εξέρχεται του ορθογωνίου .

Η λεπτομέρεια στο σχήμα που αναφέρει ο Χρήστος είναι η διάμετρος του κύκλου του κάτω τόξου

που βρίσκεται πάνω στην . Φταίω και εγώ , φταίει και η ισχυρή όραση του Χρήστου

Στο σχήμα είναι $\displaystyle {x^2} + {(a - r)^2} = M{L^2} = M{K^2} = {r^2} + {(b - x)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{{b^2} - {a^2} + 2ar}}{{2b}}}$ (1)

: Σ.Κ.2.png (21.63 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές

Με Πτολεμαίο στο AKSM

έχω $\displaystyle 4(b - x)r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {{r^2} + {{(b - x)}^2}}$ και από την (1)

(μετά από πολλές πράξεις που δεν πρόκειται να γράψω

) προκύπτει $\boxed{r=\dfrac{a^2+b^2}{4a}}$

KARKAR · #9

: Σημείο καμπής.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Λόγω της κοινής εφαπτομένης τα κέντρα K , S , O

είναι συνευθειακά . Χρησιμοποιούμε , λοιπόν ,

το Π.Θ. , στο τρίγωνο KTO

, οπότε : $b^2+(a-2r)^2=(2r)^2\Leftrightarrow r=\dfrac{a^2+b^2}{4a}$ .

#10

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 12, 2021 1:07 pm
Σημείο καμπής.pngΛόγω της κοινής εφαπτομένης τα κέντρα είναι συνευθειακά . Χρησιμοποιούμε , λοιπόν ,

το Π.Θ. , στο τρίγωνο , οπότε : $b^2+(a-2r)^2=(2r)^2\Leftrightarrow r=\dfrac{a^2+b^2}{4a}$ .

Σωστά! Μάλλον( ) είναι πιο σύντομο από το δικό μου...

Και για όσους ενδιαφέρονται, αν r=25

να βρεθούν οι ακέραιοι a, b.

KARKAR · #11

: Έξω.png (7.35 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

Η λύση :

είναι η πιο εντυπωσιακή

Φυσικά η καμπύλη βγαίνει και έξω από το ορθογώνιο .

KARKAR · #12

: Σημείο καμπής γ.png (6.74 KiB) Προβλήθηκε 1047 φορές

Θεωρώντας ότι a>b

, έχουμε και τις λύσεις (64,48) , (80,40) , (90,30)

.

Στο σχήμα η τελευταία λύση , με την καμπύλη εντός του ορθογωνίου . ( r=25 )

Σημείο καμπής

Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Re: Σημείο καμπής

Μέλη σε σύνδεση