Ώρα εφαπτομένης 97

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 97.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

Στο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας

και της διαμέσου

τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : $\tan\widehat{ABS}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:46 pm
Ώρα εφαπτομένης 97.pngΣτο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο , οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας

και της διαμέσου τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : $\tan\widehat{ABS}$ .

Χρόνια πολλά σε όλους και ειδικά στους Βαγγέληδες

Οι γωνίες ίδιου χρώματος ( NL//MB

,

εγγράψιμμο) είναι ίσες .

Επειδή $\angle \phi + \theta = \angle \omega$ θα είναι $\angle NPB= \phi = \angle ACM$ ( CPAN

εγγράψιμμο)

$tan \omega =tan( \phi + \theta )= \dfrac{tan \phi +tan \theta }{1-tan \phi tan \theta }= \dfrac{ \dfrac{c}{2b}+ \dfrac{b}{c} }{1- \dfrac{c}{2b} \dfrac{b}{c} }= \dfrac{c}{b}+ \dfrac{2b}{c} \geq 2\sqrt{2}$

Άρα η ελάχιστη τιμή της $tan \omega$ είναι $2\sqrt{2}$ και πιάνεται όταν $\dfrac{c}{b}= \dfrac{2b}{c} \Leftrightarrow \dfrac{c}{b}= \sqrt{2}$

: ώρα εφαπτομένης 97.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:46 pm
Ώρα εφαπτομένης 97.pngΣτο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο , οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας

και της διαμέσου τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : $\tan\widehat{ABS}$ .

Καλημέρα

Εστω $\large \hat{SBC}=\sigma ,\hat{SCM}=\nu ,\hat{SBM}=\omega$

Τότε

$\large JL//AB,LM//AC,\sigma +90=\nu +\omega \Leftrightarrow \omega -\sigma =90-\nu , tan(\omega -\sigma )=\dfrac{b}{c},(1),tan\sigma =\dfrac{c}{2b},(2), (1),(2)\Rightarrow tan\omega =2x+\dfrac{1}{x}=y ,x=\dfrac{b}{c}, 2x^{2}-yx+1=0,D\geq 0\Rightarrow y_{min}=2\sqrt{2},x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 25, 2021 7:46 pm
Ώρα εφαπτομένης 97.pngΣτο - μεταβλητών πλευρών - ορθογώνιο τρίγωνο , οι μεσοκάθετοι , της υποτείνουσας

και της διαμέσου τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή της : $\tan\widehat{ABS}$ .

Λόγω των μεσοκαθέτων είναι $\displaystyle SM = SC = SB,$ οπότε αν

είναι το μέσο του MB,

τότε από τη σχέση

επίκεντρης-εγγεγραμμένης θα είναι $\displaystyle M\widehat CB = \theta.$

: Ώρα εφαπτομένης.97.png (21.74 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

$\displaystyle \tan \omega = \cot \theta = \cot \left( {A\widehat CB - A\widehat CM} \right) = \dfrac{{\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{{2b}}{c} + 1}}{{\dfrac{{2b}}{c} - \dfrac{b}{c}}} = \frac{{2{b^2} + {c^2}}}{{bc}} \ge \frac{{2\sqrt 2 bc}}{{bc}} = 2\sqrt 2$

Άρα, $\boxed{{(\tan \omega )_{\min }} = 2\sqrt 2}$ όταν $\boxed{c=b\sqrt 2}$

Ώρα εφαπτομένης 97

Ώρα εφαπτομένης 97

Re: Ώρα εφαπτομένης 97

Re: Ώρα εφαπτομένης 97

Re: Ώρα εφαπτομένης 97

Μέλη σε σύνδεση