Από τόπο σε τόπο

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12467
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από τόπο σε τόπο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 01, 2021 7:55 pm

Από τόπο  σε  τόπο.png
Από τόπο σε τόπο.png (8.5 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
Σημείο S κινείται σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας 6 . Φέρουμε ST \perp OA . Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις

του γεωμετρικού τόπου του εγκέντρου E και του γεωμετρικού τόπου του βαρυκέντρου K , του τριγώνου SOT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10369
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από τόπο σε τόπο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 02, 2021 10:53 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 01, 2021 7:55 pm
Από τόπο σε τόπο.pngΣημείο S κινείται σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας 6 . Φέρουμε ST \perp OA . Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις

του γεωμετρικού τόπου του εγκέντρου E και του γεωμετρικού τόπου του βαρυκέντρου K , του τριγώνου SOT .
Προς το παρόν, για το βαρύκεντρο.

\displaystyle KT = \frac{2}{3}TM = 2. Έστω K(x,y) και \displaystyle S(s,\sqrt {36 - {s^2}} ).
Από τόπο σε τόπο.png
Από τόπο σε τόπο.png (11.13 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων KTN, OST έχω \displaystyle \frac{{s - x}}{s} = \frac{y}{{\sqrt {36 - {s^2}} }} = \frac{2}{6} \Rightarrow x = \frac{{2s}}{3},y = \frac{{\sqrt {36 - {s^2}} }}{3}

\displaystyle {x^2} + 4{y^2} = \frac{{4{s^2}}}{9} + \frac{{144 - 4{s^2}}}{9} = 16 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1} που είναι και η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου.

Προφανώς ο τόπος είναι έλλειψη με x,y>0, άρα περιορίζεται στο τμήμα ανάμεσα στις ακτίνες OA και OB.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 141
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Από τόπο σε τόπο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Απρ 02, 2021 1:05 pm

Για το βαρύκεντρο ... και στηριζόμενος στην ανάλυση του Γιώργου ότι ο τόπος του βαρυκέντρου είναι έλλειψη,
μια λίγο διαφορετική θεώρηση.

Έστω N η τομή της καθέτου από το βαρύκεντρο K επί της OA με την OS.
Είναι τότε ON = {2 \over 3} OS, δηλσδή ο γ.τ. του σημείου N είναι ο κύκλος (O,4)
με παραμετρικές εξισώσεις

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
x(t) &= 4 cos (t) \cr 
y(t) &= 4 sin (t) \cr 
\end{aligned} 
}

Εύκολα όμως δικαιολογούμε από ομοιότητες ότι

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
NK &= {1 \over 3} ST \ \ \ (1) \cr 
LK &= NL-NK =   {2 \over 3} ST -  {1 \over 3} ST =  {1 \over 3} ST = NK \cr 
\end{aligned} 
}

Δηλαδή ο γ.τ του K έχει παραμετρικές εξισώσεις

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
x(t) &= 4 cos (t) \cr 
y(t) &= 2 sin (t) \cr 
\end{aligned} 
}

δηλαδή είναι έλλειψη
Συνημμένα
rsz_ellipse138.png
rsz_ellipse138.png (70.23 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Από τόπο σε τόπο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Απρ 08, 2021 8:35 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 01, 2021 7:55 pm
Από τόπο σε τόπο.pngΣημείο S κινείται σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας 6 . Φέρουμε ST \perp OA . Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις

του γεωμετρικού τόπου του εγκέντρου E και του γεωμετρικού τόπου του βαρυκέντρου K , του τριγώνου SOT .
Είναι EL=EM=r,T(s,0),S(s,\sqrt{36-s^{2}}),E(x_{E}r),\hat{ETS}=135^{0},

To σημείο E είναι το εγκεντρο του τριγώνου OST,

H περίμετρος του είναι 2\tau =6+r+\sqrt{36-r^{2}},0< s<6, ET ,y=-(x-s)\Leftrightarrow y+x=s\Rightarrow x_{E}+y_{E}=s,x_{E}=s-r, Θέτω x=s-r,y=r,E(s-r,r)=E(x,y), 

   (OST)=\tau .r\Rightarrow (s-r)^{2}(36-s^{2})=r.(6+r)^{2}\Leftrightarrow (s-r)^{2}(6-s)=r^{2}(6+s),(*)

και με τις αντικαταστάσεις

x^{2}(6-x-y)=y^{2}(6+x+y)\Leftrightarrow 6(x^{2}-y^{2})=(x+y)(x^{2}+y^{2})

\Leftrightarrow 6(x-y)=x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow (x-3)^{2}+(y+3)^{2}=18

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος του εγκεντρου ειναι το τόξο του κύκλου (κόκκινου) που είναι μέσα στο

τεταρτοκύκλιο κέντρο και ακτίνα του κύκλου K(3,-3),\rho =3\sqrt{2}
Συνημμένα
Aπο  τόπο σε τόπο για το έγκεντρο.png
Aπο τόπο σε τόπο για το έγκεντρο.png (37.57 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης