ΚΑΤΙ ΘΥΜΗΘΗΚΑ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Ξεφύλλιζα το βιβλίο '' ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ '' του Νίκου Κισκύρα και πιο συγκεκριμένα το ''Επιπεδομετρία Βιβλίο Τέταρτον-Βιβλίο Πέμπτον''. Μέσα στον πλούτο των άλυτων θεμάτων, το μάτι μου έπεσε στην πρόταση 1550β στη σελίδα 400. Κάτι θυμήθηκα όταν την είδα...

Αν DEZ

είναι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ABC

και

είναι το ορθικό τρίγωνο του τριγώνου DEZ

τότε
$\displaystyle \left ( A'B'C' \right )=\frac{16\left ( ABC \right )^{5}}{a^{2}b^{2}c^{2}\left ( a+b+c \right )^{2}}$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 16, 2021 2:59 pm
Ξεφύλλιζα το βιβλίο '' ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ '' του Νίκου Κισκύρα και πιο συγκεκριμένα το ''Επιπεδομετρία Βιβλίο Τέταρτον-Βιβλίο Πέμπτον''. Μέσα στον πλούτο των άλυτων θεμάτων, το μάτι μου έπεσε στην πρόταση 1550β στη σελίδα 400. Κάτι θυμήθηκα όταν την είδα...

Αν είναι το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου και είναι το ορθικό τρίγωνο του τριγώνου τότε
$\displaystyle \left ( A'B'C' \right )=\frac{16\left ( ABC \right )^{5}}{a^{2}b^{2}c^{2}\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Έστω

οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου του ABC

αντίστοιχα και $\rho$ η ακτίνα του

περιγεγραμμένου κύκλου του A'B'C'

που είναι ο κύκλος του $\displaystyle {\rm{Euler}}$ του τριγώνου DEZ.

Δηλαδή $\displaystyle \rho = \frac{r}{2}.$

Το δεύτερο μέλος της αποδεικτέας σχέσης γράφεται:

$\displaystyle \frac{{16{{(ABC)}^5}}}{{16{R^2}{{(ABC)}^2}{{(2\tau )}^2}}} = \frac{{{{(ABC)}^2}(ABC)}}{{4{\tau ^2}{R^2}}} = \frac{{{\tau ^2}{r^2}(ABC)}}{{4{\tau ^2}{R^2}}} = {\left( {\frac{\rho }{R}} \right)^2}(ABC)$

Αλλά, τα τρίγωνα ABC, A'B'C'

είναι όμοια (*)

, άρα $\boxed{\frac{{(A'B'C')}}{{(ABC)}} = {\left( {\frac{\rho }{R}} \right)^2}}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

(*)

Τα τρίγωνα ABC, A'B'C'

έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Αν μου ζητηθεί θα το αποδείξω.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 16, 2021 5:43 pm
Τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Αν μου ζητηθεί θα το αποδείξω.

Το έχεις ήδη κάνει Γιώργο στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=22&t=64236

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Απρ 16, 2021 7:43 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 16, 2021 5:43 pm
Τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Αν μου ζητηθεί θα το αποδείξω.
Το έχεις ήδη κάνει Γιώργο στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=22&t=64236

Σ' ευχαριστώ Τηλέμαχε για την υπενθύμιση. Στην παραπομπή υπάρχει έτοιμος και ο λόγος ομοιότητας.

ΚΑΤΙ ΘΥΜΗΘΗΚΑ...

ΚΑΤΙ ΘΥΜΗΘΗΚΑ...

Re: ΚΑΤΙ ΘΥΜΗΘΗΚΑ...

Re: ΚΑΤΙ ΘΥΜΗΘΗΚΑ...

Re: ΚΑΤΙ ΘΥΜΗΘΗΚΑ...

Μέλη σε σύνδεση