Συνάρτηση και διαιρετότητα

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb {N^{*}}\rightarrow \mathbb {N^{*}}$ τέτοιες ώστε
mf(n+1)+f(mn)|m(2f(n)+1)

για κάθε $m,n\in \mathbb{N^{*}}$ .

2nisic · #2

Για

έχουμε $f(1)+f(2)|2f(1)+1\displaystyle{\Rightarrow f(1)+f(2)|4f(1)+2$
Για m=2,n=1

έχουμε

Έστω

τότε $d|f(1)+f(2)|2f(1)+1}\Rightarrow d=1$

Οπότε αφού (f(1)+f(2),f(2))=(f(1),f(2))=1

έχουμε: $f(2)(f(1)+f(2)|4f(1)+2\Rightarrow f(2)^2+f(2)f(1)\leq4f(1)+2\Rightarrow f(2)\leq 3$ .

Αν f(2)=3

τότε $3+f(1)|2f(1)+1\Rightarrow f(1)=5$ αλλά τότε: $3f(2)|4f(1)+2\Rightarrow 9|4*5+2=22$ .

Αν f(2)=1

τότε $1+f(1)|2f(1)+1\Rightarrow f(1)+1|f(1)$ αδύνατο.

Αν f(2)=2

τότε: $2+f(1)|2f(1)+1\Rightarrow f(1)=1$ .

Άρα f(1)=1

και

.
Έστω ότι f(k)=k

τότε:
Για m=1

και

έχουμε: $f(k+1)+f(k)|2f(k)+1\Rightarrow f(k+1)+k|2k+1$
Και επειδή ο μεγαλύτερος διαιρέτης ενός περίτου ακέραιος

(όχι ο

) είναι $\leq \frac{x}{3}$ έχουμε f(k+1)=k+1

Άρα