Το άριστα

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12645
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το άριστα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 14, 2021 10:16 am

Το  άριστα.png
Το άριστα.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
Η κορυφή B ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου (O,4) και οι κορυφές A , C είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο M της ακτίνας OD . Για ποια θέση του A , προκύπτει : (ABC)=20 ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το άριστα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 14, 2021 5:50 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 10:16 am
Το άριστα.pngΗ κορυφή B ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου (O,4) και οι κορυφές A , C είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο M της ακτίνας OD . Για ποια θέση του A , προκύπτει : (ABC)=20 ;
Το άριστα.png
Το άριστα.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές


Η ευθεία AC έχει εξίσωση \displaystyle y =  \pm \sqrt {\frac{{7 + 3\sqrt {11} }}{2}} (x - 2)

Η λύση αργότερα.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7982
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το άριστα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 14, 2021 6:00 pm

το άριστα_ok.png
το άριστα_ok.png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Με επιλογή του συστήματος συντεταγμένων του σχήματος ,

η ευθεία BC που διέρχεται από το σταθερό σημείο \boxed{M\left( {0,0} \right)} έχει κλίση:


\boxed{k =  - \sqrt {\frac{{7 + 3\sqrt {11} }}{2}} }.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2072
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το άριστα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μάιος 14, 2021 10:57 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 10:16 am
Το άριστα.pngΗ κορυφή B ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου (O,4) και οι κορυφές A , C είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο M της ακτίνας OD . Για ποια θέση του A , προκύπτει : (ABC)=20 ;
 \dfrac{(ABC)}{(ADC)}=  \dfrac{BM}{MD}=3  \Rightarrow (ADC)=(AOC)= \dfrac{20}{3}

Αλλά,2(AOC)= \dfrac{40}{3}   =OA.OCsin2B=16sin2B \Rightarrow sin2B= \dfrac{5}{6}

Έστω τώρα  CE \bot AO.Είναι sin \phi =sin2B= \dfrac{CE}{4} \Rightarrow  \dfrac{5}{6}= \dfrac{CE}{4} \Rightarrow CE= \dfrac{10}{3}

Με Π.Θ στο  \triangle OEC έχουμε OE= \dfrac{2 \sqrt{11} }{3} άρα AE=AE=4+ \dfrac{2 \sqrt{11} }{3} και με Π.Θ

στο τρίγωνο AEC \Rightarrow AC= \dfrac{4}{3} \sqrt{18+3 \sqrt{11} }

Από 2(AOC)=AC . OT \Rightarrow OT= \dfrac{10}{ \sqrt{18+3 \sqrt{11} } }

Κατασκευή

Από το M θεωρούμε τις εφαπτόμενες προς τον κύκλο (O,OT) που τέμνουν τον κύκλο (O,4) στα A,C και A’,C’

Τα τρίγωνα ABC,A’BC’ είναι ίσα(η απόδειξη εύκολη) με εμβαδό 20
το άριστα.png
το άριστα.png (36.63 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10569
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το άριστα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 15, 2021 8:52 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 10:16 am
Το άριστα.pngΗ κορυφή B ενός τριγώνου είναι η "Δύση" του κύκλου (O,4) και οι κορυφές A , C είναι τα άκρα χορδής ,

η οποία διέρχεται από το μέσο M της ακτίνας OD . Για ποια θέση του A , προκύπτει : (ABC)=20 ;
Το άριστα.β.png
Το άριστα.β.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

\displaystyle (ABC) = (ABM) + (BMC) = 20 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot 6\left( {\left| {{y_1}} \right| + \left| {{y_2}} \right|} \right) = 20 \Leftrightarrow \boxed{\left| {{y_1}} \right| + \left| {{y_2}} \right| = \frac{{20}}{3}} (1)

Έστω \displaystyle \lambda ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας AC (εύκολα διαπιστώνουμε ότι η κατακόρυφη ευθεία δεν δίνει εμβαδόν

20). Είναι AC:y = \lambda (x - 2) \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{y + 2\lambda }}{\lambda }} και ο κύκλος \boxed{C:{x^2} + {y^2} = 16}

Καταλήγουμε λοιπόν στην εξίσωση: \displaystyle ({\lambda ^2} + 1){y^2} + 4\lambda y - 12{\lambda ^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{2\lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}}\left( { - 1 \pm \sqrt {4{\lambda ^2} + 3} } \right)

και από την (1) βρίσκουμε δύο ευθείες \boxed{ y =  \sqrt {\frac{{7 + 3\sqrt {11} }}{2}} (x - 2)} ή \boxed{ y =  - \sqrt {\frac{{7 + 3\sqrt {11} }}{2}} (x - 2)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες