Το λιγότερο δυνατόν

Συντονιστές: silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το λιγότερο δυνατόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιουν 07, 2021 10:36 am

Το  λιγότερο δυνατό.png
Το λιγότερο δυνατό.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
Οι κάθετες πλευρές OA , OB του ορθογωνίου τριγώνου OAB είναι μεν μεταβλητές , έχουν όμως σταθερό

άθροισμα : OA+OB=8 . α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετη της AB , διέρχεται από σταθερό σημείο S .

β) Αν η μεσοκάθετη αυτή , τέμνει την OA στο σημείο T , υπολογίστε το (SATB)_{min} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το λιγότερο δυνατόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 07, 2021 5:49 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 07, 2021 10:36 am
Το λιγότερο δυνατό.pngΟι κάθετες πλευρές OA , OB του ορθογωνίου τριγώνου OAB είναι μεν μεταβλητές , έχουν όμως σταθερό

άθροισμα : OA+OB=8 . α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετη της AB , διέρχεται από σταθερό σημείο S .

β) Αν η μεσοκάθετη αυτή , τέμνει την OA στο σημείο T , υπολογίστε το (SATB)_{min} .
α) Στην προέκταση του OA θεωρώ σημείο P ώστε AP=OB. Η μεσοκάθετος του OP τέμνει την μεσοκάθετο

του AB στο S. Θα δείξω ότι το S είναι το ζητούμενο σημείο. Είναι SA=SB, SO=SP, AP=OB, άρα

τα τρίγωνα SAP, SBO είναι ίσα, οπότε O\widehat BS=S\widehat AP και το OASB είναι εγγράψιμο, απ' όπου προκύπτουν

οι γωνίες των 45^\circ που φαίνονται στο σχήμα. Δηλαδή το S είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του OP=8 με τη

διχοτόμο της γωνίας A\widehat OB και είναι προφανώς σταθερό.
Το λιγότερο δυνατόν.png
Το λιγότερο δυνατόν.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές
β) \displaystyle (SATB) = (OASB) - (OTB) = (SOP) - (OTB) = 16 - (OTB)

Άρα το (SATB) ελαχιστοποιείται όταν το (OTB) γίνει μέγιστο, δηλαδή όταν το τρίγωνο γίνει ορθογώνιο και

ισοσκελές. Οπότε \displaystyle OT = OB = x. Αλλά, \displaystyle OA + AP = 8 \Leftrightarrow x + x\sqrt 2  + x = 8 \Leftrightarrow x = 4(2 - \sqrt 2 )

\displaystyle {(SATB)_{\min }} = 16 - \frac{{16}}{2}{(2 - \sqrt 2 )^2} \Leftrightarrow \boxed{{(SATB)_{\min }} = 32(\sqrt 2  - 1)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Filippos Athos και 1 επισκέπτης