Ρόμβος με 60άρα

#1

: Ρόμβος με 60άρα.png (13.89 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

Δίνεται ρόμβος ABCD

με $\widehat A=60^\circ.$ Μία μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από την κορυφή

τέμνει

τις AB, AD

στα

αντίστοιχα. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι BN, MD.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 12, 2021 7:41 pm
Ρόμβος με 60άρα.png
Δίνεται ρόμβος με $\widehat A=60^\circ.$ Μία μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από την κορυφή τέμνει

τις στα αντίστοιχα. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι

Θεωρούμε τον κύκλο (N,A,B)

και την εφαπτόμενή του στο

που τέμνει την

στο

Προφανώς οι κόκκινες γωνίες του σχήματος είναι ίσες με $\omega$ όπως και οι $\phi$ είναι ίσες (αφού $\angle \phi + \omega =60^0$ )

Επιπλέον ,είναι DB=BA

,άρα $\triangle EDB= \triangle NAB$ οπότε ED=NA

Είναι $AB//DC \Rightarrow \dfrac{CM}{MN}= \dfrac{DA}{AN}= \dfrac{CD}{DE} \Rightarrow EN//DS$

Αλλά, EDBN

είναι εγγράψιμμο ,άρα $\angle ENB= \angle BDC=60^0$ .Συνεπώς $\angle \theta =60^0$

: ρόμβος με 60-αρα.png (38.93 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 12, 2021 7:41 pm
Ρόμβος με 60άρα.png
Δίνεται ρόμβος με $\widehat A=60^\circ.$ Μία μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από την κορυφή τέμνει

τις στα αντίστοιχα. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι

Θα αποδειχθει ότι το τετράπλευρο

ASDB

είναι εγγράψιμο σε κύκλο .

Δηλαδή θα αποδειχθεί ότι

$\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MS}{MB}\Leftrightarrow \dfrac{MA}{MD}= \dfrac{SM}{a+MA}\Leftrightarrow MD.SD=a^{2},(*),$

Εφόσον είναι

$LC//MB\Rightarrow \dfrac{AN} {ND}=\dfrac{MA}{a},(1), \dfrac{MS}{SD}=\dfrac{SB}{SL}=\dfrac{AS}{ST}=\dfrac{a+MA}{LD},(2), \dfrac{AN}{ND}=\dfrac{MB}{LC}=\dfrac{MN}{NC},(3), (1),(3)\Rightarrow LD=\dfrac{a^{2}}{AM},(5), (2),(5)\Rightarrow \dfrac{MS}{SD}=\dfrac{MA.a+MA^{2}}{a^{2}}\Rightarrow \dfrac{MS}{SD}= \dfrac{MD^{2}-a^{2}}{a^{2}},$

γιατί είναι ,στο τρίγωνο $MDA,MD^{2}=a^{2}+MA^{2}+aMA,$

Αρα $\dfrac{MD}{SD}=\dfrac{MD^{2}}{a^{2}}\Leftrightarrow MD.SD=a^{2}$ δηλαδή η (*)

Δηλαδή $\hat{\theta }=60^{0}$

Ρόμβος με 60άρα

Ρόμβος με 60άρα

Re: Ρόμβος με 60άρα

Re: Ρόμβος με 60άρα

Μέλη σε σύνδεση