Άθροισμα και διαφορά

KARKAR · #1

: Άθροισμα και διαφορά κάθετων πλευρών.png (12.33 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Σημείο

κινείται επί της

και ας ονομάσουμε

, το μέσο του τμήματος

.

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος : MB+MA

.

β) Υπολογίστε την διαφορά MB-MA

, την στιγμή που : $\widehat{AMB}=90^0$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 09, 2021 9:44 am
Άθροισμα και διαφορά κάθετων πλευρών.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι : . Σημείο

κινείται επί της και ας ονομάσουμε , το μέσο του τμήματος .

α) Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος : .

β) Υπολογίστε την διαφορά , την στιγμή που : $\widehat{AMB}=90^0$ .

Οι συντεταγμένες των A,B,C

φαίνονται στο σχήμα. Θέτω S(x,0),

οπότε $\displaystyle M\left( {\frac{x}{2},3} \right).$

: Άθροισμα και διαφορά.png (13.52 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

α) $\displaystyle MA + MB = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} + 9} + \sqrt {{{\left( {8 - \frac{x}{2}} \right)}^2} + 9} ,$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\boxed{{(MA + MB)_{\min }} = 10}$ όταν $\boxed{x=8}$ δηλαδή όταν το

πάει στο

και το

στο μέσο

του

β) $\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = 64 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} + {\left( {8 - \frac{x}{2}} \right)^2} = 46\mathop \Leftrightarrow \limits^{x < 8}$ $\boxed{x = 8 - 2\sqrt 7 }$

$\displaystyle MB - MA = \sqrt {32 + 8\sqrt 7 } - \sqrt {32 - 8\sqrt 7 } = 4$ (*)

(*) Θέτω $\displaystyle \sqrt {32 + 8\sqrt 7 } - \sqrt {32 - 8\sqrt 7 } = y,$ υψώνω στο τετράγωνο κλπ...

KARKAR · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 09, 2021 4:35 pm

α) $\displaystyle MA + MB = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} + 9} + \sqrt {{{\left( {8 - \frac{x}{2}} \right)}^2} + 9} ,$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\boxed{{(MA + MB)_{\min }} = 10}$ όταν $\boxed{x=8}$ δηλαδή όταν το πάει στο και το στο μέσο του

Μπορούμε και με την Minkowski : $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Άθροισμα και διαφορά

Άθροισμα και διαφορά

Re: Άθροισμα και διαφορά

Re: Άθροισμα και διαφορά

Μέλη σε σύνδεση