Παντοιοτρόπως

#1

: Παντοιοτρόπως.png (10.41 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο. Βρείτε με όποιο τρόπο θέλετε τη γωνία

#2

Κατασκευή-απόδειξη.

: παντοιοτρόπως.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Κατασκευάζω τετράγωνο DTEF

πλευράς μήκους $2\sqrt 3$ . Αριστερά δεξιά του

προεκτείνω κατά τμήματα DB = TC = 2

.

Οι $BF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ τέμνονται στο

.

Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο TEC

είναι $EC = \sqrt {E{T^2} + T{C^2}} = \sqrt {12 + 4} = 4 = 2TC$ ,

Τα τρίγωνα ABC

,

είναι ισόπλευρα και $AE = AF = FE = 2\sqrt 3$ .

Είναι : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {BAD} = 15^\circ \hfill \\ \widehat {EDC} = 45^\circ = 3\widehat {BAD} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 102.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Θεωρώ

τις προβολές των E, D

επί των

αντίστοιχα.
Είναι $MC=2\Rightarrow ME=2\sqrt{3}$ και $BN=1\Rightarrow ND=\sqrt{3}$ .
Έστω $DM=b\Rightarrow AN=b+3$ .
Από τα τρίγωνα DEM, NAD

έχω
$\varepsilon \phi3\chi =\dfrac{2\sqrt{3}}{b}$ και $\varepsilon \phi \chi =\dfrac{\sqrt{3}}{b+3}$ .
Με την βοήθεια του τύπου
$\varepsilon \phi 3\chi =\dfrac{3\varepsilon \phi\chi -\varepsilon \phi ^{3}\chi }{1-3\varepsilon \phi ^{2}\chi }$
βρίσκω ότι $b=2\sqrt{3}$ .
Συνεπώς $3\chi =45^{0}\Rightarrow \chi =15^{0}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα σε όλους και καλή σχολική χρονιά!

Με τριγωνομετρική αντιμετώπιση βρίσκω τελικά τη λύση x=15^o

,

αλλά και την ... ακραία λύση x=30^o

όπου το

είναι το μέσον της

και το

συμπίπτει με το

.

Αν δεν καλυφθεί θα επανέλθω. Φιλικά, Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Επανέρχομαι λοιπόν για την υποβολή της διαδρομής έως την ως άνω λύση.

: 13-9 παντοιοτρόπως.png (114.76 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

Με τον Νόμο Ημιτόνων στα τρίγωνα BAD,DEC

παίρνουμε $AD=\dfrac{\sqrt{3}}{\eta \mu x}$ και $DE=\dfrac{2\sqrt{3}}{\eta \mu 3x}$ .

Με διαίρεση έχουμε $\dfrac{AD}{DE}=\dfrac{\eta \mu 3x}{2\eta \mu x}$ ενώ ο ίδιος νόμος στο τρίγωνο ADE

δίνει $\dfrac{AD}{DE}=\dfrac{\eta \mu \left ( 60^o+3x \right )}{\eta \mu(60^o-x ) }$ .

Εξισώνοντας τα β' μέλη και με χρήση των τύπων για τα $\eta \mu \left ( a\pm b \right )$ φτάνουμε στην εξίσωση: $\sqrt{3}\sigma \varphi 3x+1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sigma \varphi x -\dfrac{1}{2}$

Θέτοντας $\sigma \varphi x=y$ και $\sigma \varphi 3x=\dfrac{y^3-3y}{3y^2-1}$ παίρνουμε την εξίσωση $y^3-\sqrt{27}y^2+5y+\sqrt{3}=0$

με δεκτές ρίζες $\sigma \varphi x=y=2+\sqrt{3}\Rightarrow x=15^o$

αλλά και $\sigma \varphi x=y=\sqrt{3}\Rightarrow x=30^o$ . Φιλικά, Γιώργος.

Φανης Θεοφανιδης · #6

Για την δεύτερη λύση που δίνει ο Γιώργος.

Αν $x=30^{0}$ τότε $BD=\dfrac{a}{2}\Rightarrow a=4$ (

η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου).
Ο θεματοδότης όμως μας δείχνει στο σχήμα του ένα ισόπλευρο τρίγωνο με a>4

.

Ίσως και να μην βλέπω κάτι που βλέπει ο Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλημέρα. Μια χαρά τα βλέπεις Φάνη!

Με δεδομένο a>4

η

προφανώς απορρίπτεται.

Γι' αυτό το λόγο την χαρακτήρισα ...ακραία. Με την έννοια μόνο αν δίναμε το ..

..δικαίωμα στο

να ταυτιστεί με το

.

Φιλικά, Γιώργος.

Παντοιοτρόπως

Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Re: Παντοιοτρόπως

Μέλη σε σύνδεση