Ο πάγκος του μανάβη

[Al.Koutsouridis]

Σε ένα πάγκο λαϊκής βρίσκονται φρούτα το καθένα από τα οποία εκφράζεται με ακέραιο αριθμό γραμμαρίων. Στον πάγκο υπάρχουν τουλάχιστον δυο φρούτα διαφορετικής μάζας και η μέση μάζα όλων των φρούτων είναι ίση με γραμμάρια. Η μέση μάζα όλων των φρούτων, που η μάζα τους είναι μικρότερη των γραμμαρίων, είναι ίση με γραμμάρια. Η μέση μάζα όλων των φρούτων, που η μάζα τους είναι μεγαλύτερη των γραμμαρίων, είναι ίση με γραμμάρια. Ποια είναι η μέγιστη μάζα που μπορεί να έχει ένα φρούτο του πάγκου;


Κατάλληλο και για μικρότερες τάξεις. Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσίας, 2018.

[Mihalis_Lambrou]

Σε ένα πάγκο λαϊκής βρίσκονται φρούτα το καθένα από τα οποία εκφράζεται με ακέραιο αριθμό γραμμαρίων. Στον πάγκο υπάρχουν τουλάχιστον δυο φρούτα διαφορετικής μάζας και η μέση μάζα όλων των φρούτων είναι ίση με γραμμάρια. Η μέση μάζα όλων των φρούτων, που η μάζα τους είναι μικρότερη των γραμμαρίων, είναι ίση με γραμμάρια. Η μέση μάζα όλων των φρούτων, που η μάζα τους είναι μεγαλύτερη των γραμμαρίων, είναι ίση με γραμμάρια. Ποια είναι η μέγιστη μάζα που μπορεί να έχει ένα φρούτο του πάγκου;


Κατάλληλο και για μικρότερες τάξεις. Πηγή: Ενιαία Κρατική Εξέταση Ρωσίας, 2018.

Ωραία άσκηση. Λύνεται και με πρακτική Αριθμητική, αλλά επειδή πρόκειται για μετάφραση των παρακάτω χωρίς τα σύμβολα,
δίνω ισοδύναμη Αλγεβρική λύση.

Απάντηση: γρ.

Έστω το πλήθος των φρούτων που ζυγίζουν κάτω από γρ. το καθένα, το πλήθος αυτών που ζυγίζουν πάνω από γρ., και άρα το πλήθος αυτών που ζυγίζουν ακριβώς γρ. το καθένα. Υπολογίζοντας το συνολικό βάρος με δύο διαφορετικούς τρόπους, τα στοιχεία της υπόθεσης γράφονται

. Άρα , ισοδύναμα .

Έπεται ότι για κάποιον φυσικό είναι . Eπειδή τα φρούτα (μαζί με αυτά που ζυγίζουν ) είναι , έπεται , οπότε .

Tώρα (εδώ είναι το ωραίο κομμάτι της άσκησης) ας κοιτάξουμε τα πιο βαρυά φρούτα, δηλαδή αυτά που ζυγίζουν ακέραιο αριθμό γραμμαρίων αλλά πάνω από γρ. το καθένα και για τα οποία ξέρουμε ότι έχουν μέσο όρο βάρους γρ. Τότε αφού ο μέσος όρος βάρους είναι δεδομένος, το ένα από αυτά τα φρούτα θα είναι όσο πιο βαρύ γίνεται αν όλα τα άλλα είναι όσο πιο ελαφριά γίνεται, δηλαδή γραμμάρια το καθένα. Το πιο βαρύ, λοιπόν, έχει τότε βάρος που είναι μέγιστο αν το πάρει την μέγιστη τιμή του .

Έτσι το μέγιστο βάρος είναι γρ.

Συνοψίζοντας, έχουμε φρούτα κάτω των γραμμαρίων με μέσο όρο , και φρούτα εν των οποίων τα ζυγίζουν από γρ. και το ένα γρ. (ίσον μέσος όρος γρ.) και τέλος τα υπόλοιπα ζυγίζουν από γρ.

[kkala]

Μια κάπως διαφορετική (αλγεβρική) λύση. Ονομάζουμε x τα φρούτα μάζας μικρότερης των 100 g (το καθένα), y τα φρούτα μάζας μεγαλύτερης των 100 g, z τα φρούτα μάζας 100 g. Από τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις:

(συνολική μάζα φρουτων <100 g + το αυτό για >100 g +το αυτό για 100 g = συνολική μάζα των 95 φρούτων)
όπου x,y,z ακέραιοι, θετικοί (το z μπορεί να είναι και 0), μικρότεροι από 95 (περιορισμοί).
Απαλείφοντες τον άγνωστο z από τις παραπάνω δύο εξισώσεις, προκύπτει . H τελευταία (-9 και 5 πρώτοι προς αλλήλους) έχει ακέραιες λύσεις , όπου =ακέραιος, και .
Λόγω των ανωτέρω περιορισμών: , τα οποία συναληθεύουν μόνο για , Δηλαδή για τιμές .
Η περίπτωση της μέγιστης μάζας ενός φρούτου συμβαίνει όταν το γίνει όσο το δυνατό μεγαλύτερο, δηλαδή για . Τότε και η μεγαλύτερη μάζα προκύπτει όταν τα υπόλοιπα 53 φρούτα 'εχουν τη μικρότερη δυνατή μάζα (101 g 'εκαστο). Άρα μέγιστη μάζα που μπορεί να έχει ένα φρούτο .

[Mihalis_Lambrou]

Μια κάπως διαφορετική (αλγεβρική) λύση. Ονομάζουμε x τα φρούτα μάζας μικρότερης των 100 g (το καθένα), y τα φρούτα μάζας μεγαλύτερης των 100 g, z τα φρούτα μάζας 100 g. Από τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις:

(συνολική μάζα φρουτων <100 g + το αυτό για >100 g +το αυτό για 100 g = συνολική μάζα των 95 φρούτων)
όπου x,y,z ακέραιοι, θετικοί (το z μπορεί να είναι και 0), μικρότεροι από 95 (περιορισμοί).
Απαλείφοντες τον άγνωστο z από τις παραπάνω δύο εξισώσεις, προκύπτει . H τελευταία (-9 και 5 πρώτοι προς αλλήλους) έχει ακέραιες λύσεις , όπου =ακέραιος, και .
Λόγω των ανωτέρω περιορισμών: , τα οποία συναληθεύουν μόνο για , Δηλαδή για τιμές .
Η περίπτωση της μέγιστης μάζας ενός φρούτου συμβαίνει όταν το γίνει όσο το δυνατό μεγαλύτερο, δηλαδή για . Τότε και η μεγαλύτερη μάζα προκύπτει όταν τα υπόλοιπα 53 φρούτα 'εχουν τη μικρότερη δυνατή μάζα (101 g 'εκαστο). Άρα μέγιστη μάζα που μπορεί να έχει ένα φρούτο .

Ομολογώ ότι δεν βλέπω καμία διαφορά στην λύση πέρα από αλλαγή συμβολισμού ή σε άλλα τριτεύοντα θέματα. Για παράδειγμα καταλήγεις στην . Αυτήν ακριβώς έχω και εγώ, στην μορφή .

Επίσης συμπεραίνεις . Αυτήν ακριβώς έχω και εγώ, στην μορφή , τουτέστιν το το δικό μου είναι το δικό σου .

Και λοιπά.