Ορθογώνιες τομές

KARKAR · #1

: Ορθογώνιες τομές.png (2.84 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές

Το μεγάλο ορθογώνιο διαστάσεων $a\times b$ , χωρίστηκε στο μικρότερο ορθογώνιο

και στο

υπόλοιπο σχήμα , που ονομάσαμε

. α) Δείξτε ότι το

έχει μεγαλύτερη περίμετρο .

β) Πώς θα κάνατε την τομή , ώστε : Εμβαδόν( A)=2

Εμβαδόν(

) ;

γ) Υπάρχει τομή , για την οποία προκύπτει : Εμβαδόν( A)=2

Εμβαδόν(

)

και ταυτόχρονα : Περίμετρος( B)=2

Περίμετρος(

) ;

#2

Kαλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι την πηγή έμπνευσης του Θανάση, αλλά αφήνω τη χαμαλοδουλειά της προσθήκης συνδέσμου στον δημιουργό.

: 17-09-2021 Άλγεβρα.jpg (18.44 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές

α) Ονομάζουμε τα μεταβλητά μεγέθη όπως στο σχήμα με $\displaystyle 0 < x < a,\;\;0 < y < b$

Τότε η περίμετρος του

είναι $\displaystyle P\left( A \right) = 2\left( {x + y} \right)$
και του

είναι $\displaystyle P\left( B \right) = \left( {a - x} \right) + b + a + \left( {b - y} \right) + x + y = 2\left( {a + b} \right)$ ,

Έτσι, $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x < a\\ y < b \end{array} \right.\; \Rightarrow P\left( B \right) > P\left( A \right)$ .

Είναι $\displaystyle E\left( A \right) = xy$ και $\displaystyle E\left( B \right) = ab - xy$ , οπότε

β) $\displaystyle E\left( A \right) = 2E\left( B \right) \Leftrightarrow xy = 2\left( {ab - xy} \right) \Leftrightarrow xy = \frac{2}{3}ab$

Παίρνουμε π.χ. $\displaystyle x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}a,\;\;y = \sqrt 2 b$ (Η κατασκευή είναι εύκολη και περιγράφεται εν μέρει στο βιβλίο Β΄ Γυμνασίου).

γ) $\displaystyle E\left( A \right) = 2E\left( B \right) \Leftrightarrow xy = 2\left( {ab - xy} \right) \Leftrightarrow xy = \frac{2}{3}ab$ (1)

$\displaystyle P\left( B \right) = 2P\left( A \right) \Leftrightarrow x + y = \frac{{a + b}}{2}$ (2)

Οπότε τα x,y

είναι ρίζες (αν έχει…) της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} - \frac{{a + b}}{2}t + \frac{2}{3}ab = 0$ , με a, b>0

, η οποία έχει $\displaystyle D = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{8}{3}ab$ .

Είναι $\displaystyle D \ge 0 \Leftrightarrow 3{a^2} - 26ab + 3{b^2} \ge 0$

Το τριώνυμο ως προς

έχει $\displaystyle D' = 640{b^2} \ge 0$ και ρίζες $\displaystyle {a_{1,2}} = \frac{{13b \pm 4\sqrt {10} b}}{3}$
οπότε είναι θετικό, αν $\displaystyle 0 < a \le \frac{{13b - 4\sqrt {10} b}}{3}\;\;\; \vee a \ge \frac{{13b + 4\sqrt {10} b}}{3}$ .

Αυτή είναι αναγκαία συνθήκη για να υπάρχει τομή που ικανοποιεί τις (παράξενες) επιθυμίες του Θανάση.

Με αυτήν την συνθήκη, είναι $\displaystyle {t_{1,2}} = \frac{{\frac{{a + b}}{2} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{8}{3}ab} }}{2}$

Έστω $a \ge b$ .

Είναι $\displaystyle {t_1} = \frac{{\frac{{a + b}}{2} + \sqrt {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{8}{3}ab} }}{2} > {t_2} = \frac{{\frac{{a + b}}{2} - \sqrt {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{8}{3}ab} }}{2}$

Πρέπει $\displaystyle {t_2} < b \Leftrightarrow \frac{{\frac{{a + b}}{2} - \sqrt {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{8}{3}ab} }}{2} < b$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{2} - \sqrt {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{8}{3}ab} < \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{2} < \sqrt {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} - \frac{8}{3}ab}$

$\displaystyle \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow a < \frac{{3b}}{{26}}$ , που είναι αδύνατον, άρα δεν έχουμε λύση.

edit: Συμπλήρωσα τη διερεύνηση, μετά από παρατήρηση του κατασκευαστή ότι η συνθήκη είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή!

Ορθογώνιες τομές

Ορθογώνιες τομές

Re: Ορθογώνιες τομές

Μέλη σε σύνδεση