Διανυσματικός συλλογισμός

KARKAR · #1

: Διανυσματικός συλλογισμός.png (8.31 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, είναι : $AB=4 , AD=3 , AT= \dfrac{AC}{3} , \cos\hat{A}=\dfrac{1}{3}$

και το διάνυσμα $\vec{DS}$ είναι κάθετο στην διαγώνιο

. Υπολογίστε τα : $|\vec{DT}| \:\:\ , \: \vec{DS}\cdot \vec{DT}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 03, 2021 7:56 pm
Διανυσματικός συλλογισμός.pngΣτο παραλληλόγραμμο , είναι : $AB=4 , AD=3 , AT= \dfrac{AC}{3} , \cos\hat{A}=\dfrac{1}{3}$

και το διάνυσμα $\vec{DS}$ είναι κάθετο στην διαγώνιο . Υπολογίστε τα : $|\vec{DT}| \:\:\ , \: \vec{DS}\cdot \vec{DT}$

Με $AT=\dfrac{1}{3}AC\Rightarrow \overrightarrow{AT}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)$ οπότε: $\overrightarrow{DT}=\overrightarrow{AT}-\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right)-\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\Rightarrow$
${{\overrightarrow{DT}}^{2}}=\dfrac{1}{9}{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+\dfrac{4}{9}{{\overrightarrow{AD}}^{2}}-2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\dfrac{16}{9}+4-\dfrac{4}{9}\cdot 4\cdot 3\cdot \cos A=\ldots 4\Rightarrow \left| DT \right|=2$
Έστω ότι $\overrightarrow{AS}=k\cdot \overrightarrow{AB}$ , τότε $\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AD}=k\cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ και με $\overrightarrow{DS}\bot \overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{DS}\cdot \overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow$
$16k+\left( k-1 \right)\cdot 4\cdot 3\cdot \dfrac{1}{3}-9=0\Leftrightarrow \ldots k=\dfrac{13}{20}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AS}=\dfrac{13}{20}\overrightarrow{AB}$ οπότε:
$\overrightarrow{DS}\cdot \overrightarrow{DT}=\left( \dfrac{13}{20}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} \right)\cdot \left( \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD} \right)=\dfrac{13}{60}{{\overrightarrow{AB}}^{2}}-\dfrac{16}{30}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}{{\overrightarrow{AD}}^{2}}$
$=\dfrac{52}{15}-\dfrac{32}{15}+6=8$

Διανυσματικός συλλογισμός

Διανυσματικός συλλογισμός

Re: Διανυσματικός συλλογισμός

Μέλη σε σύνδεση