Ενδιαφέρουσα διαιρετότητα

llenny · #1

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα: $1 + 2 + \cdots + n$ διαρεί το άθροισμα: $1^k + 2^k + \cdots + n^k$ για κάθε περιττό

. Θα γράψω μετά την πηγή της άσκησης αν και εκεί έδινε αρκετές βοήθειες για τη λύση μέσω άλλων υποερωτημάτων. Ελπίζω να κάνει για το φάκελο αυτό χωρίς τις βοήθειες αυτές, πάντως είναι πολύ ωραία πρόταση.

Manolis Petrakis · #2

Για περιττό

και φυσικό

ισχύει ότι:
$n | i^k+(n-i)^k\Rightarrow n | \sum_{i=0}^{n}( i^k+(n-i)^k)=2(1^k+2^k+...+n^k)$ και
$n+1| i^k+(n-i+1)^k\Rightarrow n+1| \sum_{i=1}^{n}( i^k+(n-i+1)^k)=2(1^k+2^k+...+n^k)$ .
Αφού όμως οι n,n+1

είναι πρώτοι μεταξύ τους, ισχύει ότι:
$n(n+1) | 2(1^k+2^k+...+n^k)\Leftrightarrow \dfrac{n(n+1)}{2}| 1^k+2^k+...+n^k\Leftrightarrow 1+2+...n| 1^k+2^k+...+n^k$ .

llenny · #3

Ξέχασα να αναφέρω την πηγή. Είναι ερώτηση από το STEP exam στην Αγγλία και θέματα από την εξέταση αυτή υπάρχουν εδώ άμα θέλει να τα κοιτάξει κανείς: https://stepdatabase.maths.org/database/index.html
Η συγκεκριμένη ερώτηση είναι η 15-S1-Q8 και μέσα απο κάποια υποερωτήματα που δίνει πρώτα βγαίνει η τελική πρόταση.

Ενδιαφέρουσα διαιρετότητα

Ενδιαφέρουσα διαιρετότητα

Re: Ενδιαφέρουσα διαιρετότητα

Re: Ενδιαφέρουσα διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση