Overachievers

[socrates]

Σε μια τάξη φοιτούν 15 μαθητές. Ο καθηγητής μαθηματικών έβαλε δύο διαγωνίσματα, στα οποία η βαθμολογία είναι ακέραιος αριθμός από 0 έως και 10. Ένας μαθητής που γράφει στο πρώτο διαγώνισμα κάτω από και στο δεύτερο πάνω από παίρνει τον τίτλο του overachiever.
Ο μέσος όρος των 30 βαθμών των μαθητών στα δύο διαγωνίσματα ήταν .
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός μαθητών που πήραν τον τίτλο του overachiever;


https://artofproblemsolving.com/communi ... pic_school

[Demetres]

Το συνολικό άθροισμα των βαθμολογιών είναι . Κάθε overachiever έχει συνολική βαθμολογία το πολύ . (Το πολύ στο πρώτο και το πολύ στο δεύτερο.) Κάθε άλλος μαθητής έχει συνολική βαθμολογία το πολύ .

Αν έχουμε overachievers και άρα άλλους, τότε



Παίρνουμε , άρα . Αυτό επιτυγχάνεται αν οι overachievers έχουν βαθμολογίες και . Από τους υπόλοιπους οι έχουν βαθμολογίες και ενώ οι άλλοι έχουν και .

Σημείωση: Η συγκεκριμένη άσκηση είναι κατάλληλη και για juniors.