Ελαχιστοποίηση διαδρομής
Ελαχιστοποίηση διαδρομής
και το είναι η προβολή του στην .
Βρείτε το μήκος του τμήματος , την στιγμή που ελαχιστοποιείται η διαδρομή : .
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1786
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής
Έστω η ευθεία συμμετρική της ως προς την ευθεία . Ας είναι η προβολή του στην . Τότε θα έχουμε:
όπου η προβολή του σημείου στην ευθεία . 'Αρα το σημείο που ελαχιστοποιεί το δοθέν άθροισμα είναι η τομή του τμήματος με την πλευρά .
Έστω το μέσο της . Φέρουμε από το παράλληλη ευθεία ως προς την και ας είναι τα σημεία τομής αυτής με το τμήμα και την ευθεία αντίσχτοιχα.
Τότε θα είναι . 'Αρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Όμως οπότε για το σημείο που ελαχιστοποιεί την παραπάνω απόσταση θα είναι .
Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής
Από το γνωστό πρόβλημα του μπιλιάρδου ελάχιστη διαδρομής έχουμε αν από το συμμετρικό, του ως προς την ευθεία φέρω κάθετη στην .
Τότε το σημείο είναι το ορθόκεντρο του ισοσκελούς . Ας πούμε :
τα μέσα των και τις προβολές του στις .
Προφανώς τα είναι ορθογώνια με πλευρές , ενώ το καθένα είναι όμοιο με το . Έτσι το θα έχει : με .
Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο οπότε:
. Από το Π. Θ. στο θα έχω:
και άρα
Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του , φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής
Με τις συντεταγμένες των σημείων που φαίνονται στο σχήμα, προκύπτει όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω
όταν Εύκολα τώρα,
Έδωσα περισσότερο τη μέθοδο, γιατί λείπουν πολλές πράξεις
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ελαχιστοποίηση διαδρομής
Μία τριγωνομετρική (με επίσης κομμένες πράξεις )
Από την είναι
και για
που ελαχιστοποιείται όταν κλπ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες