Γωνία και λόγος κατά τη μεγιστοποίηση

#1

: Γωνία και λόγος κατά τη μεγιστοποίηση.png (14.27 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC (\widehat B=\widehat C=50^\circ).$ Σημείο

κινείται στη βάση

και έστω

η προβολή

του στην AC.

Θέλουμε το εμβαδόν του AST

να είναι μέγιστο. Κατά τη στιγμή της μεγιστοποίησης:

α) να εντοπίσετε το σημείο

και να βρείτε τη γωνία $B\widehat AS=\theta.$

β) Να βρείτε μία εξίσωση που να δίνει το λόγο $\displaystyle \frac{b}{a} = \lambda.$

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 01, 2022 12:44 pm
Γωνία και λόγος κατά τη μεγιστοποίηση.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC (\widehat B=\widehat C=50^\circ).$ Σημείο κινείται στη βάση και έστω η προβολή

του στην Θέλουμε το εμβαδόν του να είναι μέγιστο. Κατά τη στιγμή της μεγιστοποίησης:

α) να εντοπίσετε το σημείο και να βρείτε τη γωνία $B\widehat AS=\theta.$

β) Να βρείτε μία εξίσωση που να δίνει το λόγο $\displaystyle \frac{b}{a} = \lambda.$

α) το τετράπλευρο ATES

είναι εγγράψιμο άρα

$CT.CA=CE.CS\Rightarrow CT=\dfrac{a}{2b}(a-x),(1), AT=b-CT=\dfrac{2b^{2}-a(a-x)}{2b},(2)$

Απο το Π.Θ στο τρίγωνο

$STC,ST=\dfrac{a-x}{2b}\sqrt{4b^{2}+a^{2}},(3), (AST)=\dfrac{1}{2}AT.ST$

Οπότε με

$y=(AST),a\sqrt{a^{2}+4b^{2}}(a-x)^{2}-2b^{2}\sqrt{a^{2}+4b^{2}}(a-x)+8yb^{2}=0, \Delta =4b^{4}(a^{2}+b2)-4a\sqrt{a^{2}+4b^{2}}.8yb^{2}\geq 0$

Και μέγιστο για διακρίνουσα μηδέν $y_{max}=\dfrac{b^{2}(a^{2}+b^{2})}{8a\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, x_{max}=\dfrac{b^{2}}{a}, SA^{2}=AE^{2}+SE^{2}\Rightarrow SA=\dfrac{b^{2}}{a},SA=SB, \hat{\theta }=50^{0}$

β)Από νομο ημίτονων στο τρίγωνο $ASB,\dfrac{b}{a}=\lambda =\dfrac{1}{2cos50}$

Γωνία και λόγος κατά τη μεγιστοποίηση

Γωνία και λόγος κατά τη μεγιστοποίηση

Re: Γωνία και λόγος κατά τη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση