Ελάχιστο σε περίκυκλους

#1

: Ελάχιστο σε περίκυκλους.png (17.64 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

Σε τρίγωνο ABC

δίνονται

και $\displaystyle \cos B = - \frac{1}{a}.$ Στην πλευρά

κινείται

σημείο

Ο περίκυκλος του ASC

τέμνει τη

στο

ενώ ο περίκυκλος του ABK

την

στο

α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών a, b, c

του τριγώνου.

β) Να εντοπίσετε τη θέση του

για την οποία ελαχιστοποιείται το μήκος του ST.

Η άσκηση εξετάζει και άλγεβρα. Απαντήσεις της μορφής "Λύνω το σύστημα
και βρίσκω ", προφανώς δεν γίνονται δεκτές

S.E.Louridas · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 23, 2022 9:49 am
Σε τρίγωνο δίνονται και $\displaystyle \cos B = - \frac{1}{a}.$ Στην πλευρά κινείται
σημείο Ο περίκυκλος του τέμνει τη στο ενώ ο περίκυκλος του την στο
α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.
β) Να εντοπίσετε τη θέση του για την οποία ελαχιστοποιείται το μήκος του

Ερώτημα α)

Καταρχάς (και με βάση τον νόμο του συνημίτονου) έχουμε: $\displaystyle{\angle B > {90^ \circ } \Rightarrow b > \max \left\{ {a,c} \right\},\;\,{b^2} = {a^2} + {c^2} + 2c.}$

Έτσι παίρνουμε $\displaystyle{2{a^2} - {c^2} = {a^2} + {c^2} + 2c \Leftrightarrow {a^2} = 2{c^2} + 2c.}$

Επίσης έχουμε $\displaystyle{b = 12 - c \Rightarrow {b^2} = 144 - 24c + {c^2}}$ οπότε με βάση και την πρώτη από τις διδόμενες προκύπτει εύκολα η εξίσωση

$\displaystyle{{c^2} + 14c - 72 = 0}$ που δίνει ως λύση την c = 4

από την οποία υπολογίζουμε και τις άλλες πλευρές $b = 8,\,\;a = 2\sqrt {10} .$

Ερώτημα β).
Ας μου επιτραπεί να παραθέσω για το ερώτημα αυτό, ένα κατασκευαστικό προσδιορισμό
του γεωμετρικού τόπου με βάση τον τρόπο που ακολουθεί:

Έχουμε $\displaystyle{AS = c - SB = c - \frac{a}{c}BK\;\;\left( 1 \right),}$ καθότι τα τρίγωνα SBK, CBA

είναι όμοια.

Επίσης παίρνουμε $\displaystyle{AT = b - TC = b - \frac{a}{b}KC\;\;\left( 2 \right).}$

Από τις (1), (2)

προκύπτει $\displaystyle{\frac{c}{a}AS + \frac{b}{a}AT = \frac{c}{a}c + \frac{b}{a}b - a,\;\;ct.}$

Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο AST

θα διέρχεται από σταθερό σημείο

διάφορο του

Για να έχουμε το ελάχιστο

αρκεί η ακτίνα του κύκλου του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο AST

να είναι η ελάχιστη και αυτό επιτυγχάνεται,

όταν ο κύκλος αυτός έχει ως διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα AQ.

Αυτός ο κύκλος θα τμήσει την

στο ζητούμενο σημείο

#3

Σ' ευχαριστώ Σωτήρη για την πλήρη κάλυψη του θέματος και ειδικότερα
για τον κατασκευαστικό τρόπο εντοπισμού του σημείου

: Ελάχιστο σε περίκυκλους.β.png (22.02 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές

Σο σχήμα φαίνεται το σταθερό σημείο

και ο κύκλος διαμέτρου AQ.

Για την ιστορία,

να πω ότι υπολογιστικά παίρνουμε $\boxed{AS=3}$ και $\boxed{AQ = 2\sqrt {\frac{{10}}{3}} }$

Ελάχιστο σε περίκυκλους

Ελάχιστο σε περίκυκλους

Re: Ελάχιστο σε περίκυκλους

Re: Ελάχιστο σε περίκυκλους

Μέλη σε σύνδεση