Εξαπαραμετρική

[KARKAR]

Εξαπαραμετρική σταθερότητα.png (16.57 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές

Δίνεται η παραβολή : , την οποία οι ευθείες :

, τέμνουν στα σημεία αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου εξαρτάται μόνο από τρεις από τις

παραμέτρους : .

[rek2]

Το εμβαδόν που περικλείεται από την παραβολή και μια ευθεία εξαρτάται από την παράμετρο και τo άθροισμα ή την διαφορά των αποστάσεων των σημείων τομής από τον άξονα συμμετρίας της. (αναλόγως με το αν τα σημεία τομής βρίσκονται σε διαφορετικό μέρος ή προς το ίδιο μέρος του άξονα συμμετρίας, αντιστοίχως).
Έτσι, αν πάμε σε ένα σχήμα σαν του Θανάση, το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου εξαρτάται από τον συντελεστή του και το άθροισμα των αποστάσεων των σημείων από τον άξονα συμμετρίας που εδώ είναι . (Το ότι το εμβαδόν δεν εξαρτάται από τον συντελεστή του χ και τον σταθερό όρο μπορούμε να το δούμε αν θυμηθούμε ότι κάθε παραβολή μπορεί να μετακινηθεί ώστε να γίνει ομοιόθετη με την . Αν η παραβολή είναι o λόγοs ομοιοθεσιας είναι . Βρίσκουμε το αντίστοιχο εμβαδόν εργαζόμενοι με την και πολλαπλασιάζουμε με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας).

Τώρα, αφού η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα της παραβολής και διέρχεται από το μέσο τηs χορδής , η εφαπτόμενη της παραβολής που είναι παράλληλη στην εφάπτεται στο σημείο (γνωστή πρόταση), οπότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι τα του εμβαδού του αντίστοιχου παραβολικού χωρίου (ομοίως γνωστή πρόταση). Εξαρτάται, επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου από τον συντελεστή του και το πλάτος κ.λπ.