Ομιχλώδης τόπος

KARKAR · #1

: Ομιχλώδης τόπος.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Το

κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R

και το

στο ημικύκλιο διαμέτρου CD=2r , ( R>r)

,

έτσι ώστε πάντα να είναι : $\widehat{COT}=\widehat{BOS}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 14, 2023 9:05 pm Το κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου και το στο ημικύκλιο διαμέτρου ,

έτσι ώστε πάντα να είναι : $\widehat{COT}=\widehat{BOS}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ομιχλώδης γ. τόπος 1.png (34.42 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Οι συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{S,S' }$ είναι:

$\displaystyle{S= (Rcosω, Rsinω), \ \ S' =(-rcosω, rsinω)}$

Άρα οι συντεταγμένες του μέσου αυτών $\displaystyle{M}$ θα είναι:

$\displaystyle{x=\frac{R-r}{2}cosω, \ \ y=\frac{R+r}{2}sinω \ \ (1)}$

Από τους τύπους (1) προκύπτει:

$\displaystyle{ cosω=\frac{2x}{R-r}, \ \ sinω=\frac{2y}{R+r} \ \ (2) }$

Aπό τους τύπους (2) θα είναι:

$\displaystyle{(\frac{2x}{R-r})^2+(\frac{2y}{R+r})^2=1 }$

και τελικά θα είναι:

$\displaystyle{\frac{x^2}{(\frac{R-r}{2})^2} +\frac{y^2}{(\frac{R+r}{2})^2}=1 \ \ (3) }$

Η εξίσωση (3) δηλώνει έλλειψη με κέντρο την αρχή των αξόνων και ημιάξονες:

$\displaystyle{a=\frac{R-r}{2}, \ \ b=\frac{R+r}{2} }$

όπως δείχνει και το ανωτέρω σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 14, 2023 9:05 pm Το κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου και το στο ημικύκλιο διαμέτρου ,

έτσι ώστε πάντα να είναι : $\widehat{COT}=\widehat{BOS}$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

Καλησπέρα...

Και μια άλλη ιδέα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ομιχλώδης τόπος 2.png (30.51 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Το σημείο $\displaystyle{S_1}$ είναι εικόνα του σημείου $\displaystyle{S}$ ως προς την ομοιοθεσία με κέντρο το σημείο $\displaystyle{O}$ και

λόγο $\displaystyle{l=\frac{r}{R} \ \ (a) }$ . Άρα:

Αν $\displaystyle{S=(x,y) \ \ (1) }$ τότε $\displaystyle{S_1=(lx,ly) \ \ (2) }$

Επίσης το σημείο $\displaystyle{S_2}$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{S_1}$ ως προς τον άξονα των τεταγμένων. Άρα:

$\displaystyle{S_2=(-lx,ly) \ \ (3)}$

Έτσι από τις (1), (2) και (3) οι συντεταγμένες του μέσου $\displaystyle{M}$ του τμήματος $\displaystyle{SS_2}$ θα είναι:

$\displaystyle{x_M=\frac{x-lx}{2}, \ \ y_M=\frac{y+ly}{2} \ \ (4) }$

Από τις σχέσεις (4) θα είναι ακόμα:

$\displaystyle{x=\frac{2x_M}{1-l}, \ \ y=\frac{2y_M}{1+l} \ \ (5) }$

Όμως επειδή:

$\displaystyle{x^2+y^2=R^2 }$

οι σχέσεις (5) δίνουν:

$\displaystyle{(\frac{2x_M}{1-l})^2+(\frac{2y_M}{1+l})^2=R^2 \ \ (6) }$

Η τελευταία σχέση (6) λόγω της (a) τελικά γίνεται:

$\displaystyle{\frac{x^2_M}{(\frac{R-r}{2})^2 }+\frac{y^2_M}{(\frac{R+r}{2})^2 }=1}$

Η εξίσωση αυτή εκφράζει το γ. τόπο που είναι έλλειψη όπως και στην

πρώτη μου ανάρτηση με τα ίδια στοιχεία.

: Ομιχλώδης τόπος 3.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Παρατήρηση:

Επειδή στην εκφώνηση έδινε ημικύκλια ενώ εγώ αναφέρθηκα σε κύκλους

παρουσιάζω ένα σχήμα που απαντά στα ημικύκλια...

Κώστας Δόρτσιος

Ομιχλώδης τόπος

Ομιχλώδης τόπος

Re: Ομιχλώδης τόπος

Re: Ομιχλώδης τόπος

Μέλη σε σύνδεση