Μεγιστοποίηση του κίτρινου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση του κίτρινου.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Για το τρίγωνο ABC

, γνωρίζουμε ότι το ύψος

χωρίζει τη βάση

, σε τμήματα : BD=2

και :

. Φέρουμε και τα ύψη

και

. Αναζητούμε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου BZE

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 08, 2023 1:04 pm
Μεγιστοποίηση του κίτρινου.pngΓια το τρίγωνο , γνωρίζουμε ότι το ύψος χωρίζει τη βάση , σε τμήματα : και :

. Φέρουμε και τα ύψη και . Αναζητούμε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Ωραία άσκηση!

Έστω

το μέσο του

και

οι προβολές των M, B

στην

αντίστοιχα. Αν η

τέμνει την

στο

τότε από Μενέλαο στο ABC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {KZE}$ είναι, $\boxed{\frac{{CE}}{{EA}} \cdot \frac{{AZ}}{{ZB}} \cdot \frac{{KB}}{{KC}} = 1}$ (1)

: Μ.Κ.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

Αλλά από $\rm Ceva$ στο ίδιο τρίγωνο, $\displaystyle \frac{{CE}}{{EA}} \cdot \frac{{AZ}}{{ZB}} = 2$ και από την (1)

προκύπτει ότι KB=6.

$\displaystyle \frac{{(BZE)}}{{(MZE)}} = \frac{{BT}}{{MN}} = \frac{{KB}}{{KM}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow (BZE) = \frac{2}{3}(MZE).$ Άρα το (BZE)

μεγιστοποιείται

όταν μεγιστοποιείται το (MZE),

δηλαδή όταν $Z\widehat ME=90^\circ.$ Τότε όμως, $\boxed{\widehat A=45^\circ}$ και

$\displaystyle (BZE) \leqslant \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}3 \cdot 3} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{ {(BZE)_{\max }} = 3}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 08, 2023 1:04 pm
Μεγιστοποίηση του κίτρινου.pngΓια το τρίγωνο , γνωρίζουμε ότι το ύψος χωρίζει τη βάση , σε τμήματα : και :

. Φέρουμε και τα ύψη και . Αναζητούμε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Τα $\vartriangle BDZ$ και $\vartriangle EDC$ είναι όμοια και θα ισχύει πάντα : $DE \cdot DZ = DB \cdot DC = 8\,\,\left( 1 \right)$ .

Ας είναι K,L,M

οι προβολές των B,D,C

στην ευθεία

. Αν $BD = b\,\,,\,\,DL = h\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC = a$ θα έχω:

: Μεγιστοποίηση κίτρινου_ok.png (25.26 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

$a = 2b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{h - b}}{{a - h}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow h = \dfrac{{a + 2b}}{3}$ , οπότε : $\boxed{\dfrac{b}{h} = \dfrac{3}{4}}$ συνεπώς :

$\dfrac{{\left( {BZE} \right)}}{{\left( {DZE} \right)}} = \dfrac{3}{4}$ . Αλλά το $\left( {DZE} \right)$ γίνεται μέγιστο όταν $\widehat {EDZ} = 90^\circ$ συνεπώς και λόγω της $\left( 1 \right)$ ,

$\left( {DZE} \right) = \dfrac{1}{2}DZ \cdot DE = 4$ , άρα $\boxed{{{\left( {BZE} \right)}_{\max }} = 3}$

Μεγιστοποίηση του κίτρινου

Μεγιστοποίηση του κίτρινου

Re: Μεγιστοποίηση του κίτρινου

Re: Μεγιστοποίηση του κίτρινου

Μέλη σε σύνδεση