Ώρα εφαπτομένης 158

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 158.png (15.56 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2r

ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο

, με :

. Εντοπίστε

σημείο

του άνω ημικυκλίου , τέτοιο ώστε η

να είναι διχοτόμος της $\widehat{ATS}$ - και υπολογίστε την $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 03, 2023 7:49 pm
Ώρα εφαπτομένης 158.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο , με : . Εντοπίστε

σημείο του άνω ημικυκλίου , τέτοιο ώστε η να είναι διχοτόμος της $\widehat{ATS}$ - και υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Με τη βοήθεια του Απολλώνιου κύκλου $\Omega$ προσδιορίζω το

: $\dfrac{{TA}}{{TS}} = \dfrac{1}{3}$ . Αν θέσω r = 2k

και

η προβολή του

στην $AB,\,\,$ θα έχω :

: Ωρα εφαπτομένης 158.png (25.72 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές

$T{O^2} = OE \cdot OC \Rightarrow 4{k^2} = OE \cdot 6k \Rightarrow OE = \dfrac{{2k}}{3}$ . $T{E^2} = EO \cdot EC \Rightarrow TE = \dfrac{{4k\sqrt 2 }}{3}$ .

Επίσης $ES = EO + OS = \dfrac{{2k}}{3} + 6k = \dfrac{{20k}}{3}$ .

Έτσι: $\boxed{\tan \theta = \dfrac{{TE}}{{ES}} = \dfrac{{4k\sqrt 2 }}{{20k}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 03, 2023 7:49 pm
Ώρα εφαπτομένης 158.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο , με : . Εντοπίστε

σημείο του άνω ημικυκλίου , τέτοιο ώστε η να είναι διχοτόμος της $\widehat{ATS}$ - και υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Είναι $\dfrac{ST}{TA}= \dfrac{SO}{OA}=3 (1)$ και η

εφάπτεται του κύκλου (T,A,O)

άρα

Από $(1),(2) \Rightarrow AT= \dfrac{2r}{ \sqrt{3} }$ ,άρα η τομή του ημικυκλίου με τον κύκλο $(A, \dfrac{2r}{ \sqrt{3} } )$ ορίζει τη θέση του

$TA^2=AE.2r\Rightarrow \dfrac{4r^2}{3}=AE.2r \Rightarrow AE= \dfrac{2r}{3} \Rightarrow SE= \dfrac{10r}{3}$

Ακόμη, $TE^2=\dfrac{2r}{3}.(2r- \dfrac{2r}{3}) \Rightarrow TE= \dfrac{2r \sqrt{2} }{3}$

Άρα $tan \theta = \dfrac{TE}{SE}= \dfrac{ \sqrt{2} }{5}$

: ώρα εφαπτομένης 158.png (16.99 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 03, 2023 7:49 pm
Ώρα εφαπτομένης 158.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός κύκλου , βρίσκεται σημείο , με : . Εντοπίστε

σημείο του άνω ημικυκλίου , τέτοιο ώστε η να είναι διχοτόμος της $\widehat{ATS}$ - και υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Θέτω

και λόγω διχοτόμου θα είναι TS=3x.

Από την ομοιότητα των τριγώνων ATS, TOS

έχω:

$\displaystyle \frac{x}{r} = \frac{{4r}}{{3x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{2r}}{{\sqrt 3 }}}$ (1),

απ' όπου εντοπίζεται το σημείο

: Εφ-158.png (12.2 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο TOS,

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{9{x^2} + 8{r^2}}}{{18rx}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{5\sqrt 3 }}{9},$ απ' όπου $\boxed{\tan \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{5}}$

Ώρα εφαπτομένης 158

Ώρα εφαπτομένης 158

Re: Ώρα εφαπτομένης 158

Re: Ώρα εφαπτομένης 158

Re: Ώρα εφαπτομένης 158

Μέλη σε σύνδεση