Ώρα εφαπτομένης 162

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 158.png (8.69 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου , φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και τμήμα $TP \perp AB$ . Επιλέξτε το

, έτσι ώστε : $\tan \theta=\dfrac{1}{2}$ και υπολογίστε την τότε $\tan\phi$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 8:58 pm
Ώρα εφαπτομένης 158.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και τμήμα $TP \perp AB$ . Επιλέξτε το , έτσι ώστε : $\tan \theta=\dfrac{1}{2}$ και υπολογίστε την τότε $\tan\phi$ .

Θέτω: $PB = k\,\,,\,\,PT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB = x$ . Αφού $\tan \theta = \dfrac{1}{2}$ έχω : ${\sin ^2}\theta = \dfrac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \sin \theta = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\,\,\left( 1 \right)$ .

α)Η τετράδα $\left( {A,B\backslash P,S} \right)$ είναι ως γνωστό αρμονική κι αφού $\sin \theta = \dfrac{{TP}}{{TS}} = \dfrac{{PB}}{{BS}} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{k}{x} \Rightarrow k = \dfrac{x}{{\sqrt 5 }}\,\,\left( 2 \right)$ θα έχω:

: Ωρα εφαπτομένης 162.png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

$\dfrac{{BS}}{{BP}} = \dfrac{{AS}}{{AP}} \Rightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{{2r + x}}{{2r - k}} \Rightarrow \sqrt 5 = \dfrac{{2r + x}}{{2r - \dfrac{x}{{\sqrt 5 }}}}$ . Απ’ όπου : $\boxed{x = r\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}$ .

β)

Έχω: $\,\,\,x = r\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\,\,,\,\,k = \dfrac{x}{{\sqrt 5 }}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \sqrt {k(2r - k)}$ , οπότε:

$\boxed{\tan \phi = \dfrac{{AP}}{{TP}} = \dfrac{{\left( {2r - k} \right)}}{{\sqrt {k\left( {2r - k} \right)} }} = \sqrt {\dfrac{{2r - k}}{k}} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 02, 2023 8:58 pm
Ώρα εφαπτομένης 158.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

και τμήμα $TP \perp AB$ . Επιλέξτε το , έτσι ώστε : $\tan \theta=\dfrac{1}{2}$ και υπολογίστε την τότε $\tan\phi$ .

Αν

είναι το κέντρο του ημικυκλίου, τότε $\displaystyle \tan \theta = \frac{{OT}}{{ST}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{r}{{ST}} \Leftrightarrow ST = 2r$ και με Π.Θ $\boxed{OS=r\sqrt 5}$

: Εφ-162.png (11.22 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές

$\displaystyle {r^2} = OP \cdot OS \Leftrightarrow OP = \frac{r}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow AP = \frac{{(\sqrt 5 + 1)r}}{{\sqrt 5 }}$ ΚΑΙ $T{P^2} = OP \cdot PS = \dfrac{{4{r^2}}}{5} \Leftrightarrow TP = \dfrac{{2r}}{{\sqrt 5 }}$

Άρα, $\boxed{\tan \varphi =\frac{AP}{TP}= \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$

Ώρα εφαπτομένης 162

Ώρα εφαπτομένης 162

Re: Ώρα εφαπτομένης 162

Re: Ώρα εφαπτομένης 162

Μέλη σε σύνδεση