Τριπλό θαύμα

KARKAR · #1

: Τριπλό θαύμα.png (14.52 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές

Η κάθετη πλευρά

του ορθογωνίου τριγώνου OAB

ισούται με

, ενώ η

, μεταβάλλεται .

Γράφουμε κύκλο κέντρου

και ακτίνας

, προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα BS , BP

.

α) Δείξτε ότι το τμήμα

διέρχεται από σταθερό σημείο

της

.

β) Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{PBS}$ και $\widehat{POS}$ , είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε το $\cos\omega$ , αν είναι : TS=2PT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2023 1:10 pm
Τριπλό θαύμα.pngΗ κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου ισούται με , ενώ η , μεταβάλλεται .

Γράφουμε κύκλο κέντρου και ακτίνας , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα .

α) Δείξτε ότι το τμήμα διέρχεται από σταθερό σημείο της .

β) Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{PBS}$ και $\widehat{POS}$ , είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε το $\cos\omega$ , αν είναι : .

α) $\displaystyle A{P^2} = AM \cdot AB = AT \cdot AO \Leftrightarrow 4 = 4AT \Leftrightarrow$ $\boxed{AT=1}$

: Τριπλό θαύμα.Κ.png (23.37 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

β) Το

είναι εγγράψιμο (δύο από τις απέναντι γωνίες του είναι ορθές) και για τον ίδιο λόγο το AOBS

είναι εγγράψιμο. Άρα και το POBS

είναι εγγράψιμο, οπότε $\boxed{P\widehat BS = P\widehat OS = \omega }$

γ) Στο ισοσκελές APB

είναι $\displaystyle A{P^2} = A{T^2} + PT \cdot TS \Leftrightarrow 4 = 1 + 2P{T^2} \Leftrightarrow P{T^2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow P{S^2} = \frac{{27}}{2}$

Νόμος συνημιτόνου στο APS

με $P\widehat AS=180^\circ-\omega \Rightarrow$ $\displaystyle \frac{{27}}{2} = 8 + 8\cos \omega \Leftrightarrow$ $\boxed{ \cos \omega = \frac{{11}}{{16}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 03, 2023 1:10 pm
Τριπλό θαύμα.pngΗ κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου ισούται με , ενώ η , μεταβάλλεται .

Γράφουμε κύκλο κέντρου και ακτίνας , προς τον οποίο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα .

α) Δείξτε ότι το τμήμα διέρχεται από σταθερό σημείο της .

β) Δείξτε ότι οι γωνίες : $\widehat{PBS}$ και $\widehat{POS}$ , είναι ίσες .

γ) Υπολογίστε το $\cos\omega$ , αν είναι : .

α)Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ οι τομές ( νότια και βόρεια) της

με τον κύκλο .

Επειδή το

είναι σταθερό η πολική του,

, ως προς τον κύκλο διέρχεται από το σταθερό μέσο

του

.

Η πολική του

ως προς τον κύκλο είναι ευθεία κάθετη στο

επί την

.

Έτσι για κάθε σημείο

αυτής η πολική του

θα διέρχεται από το

.

β) Επειδή τα σημεία A,P,O,B,S

ανήκουν στο κύκλο διαμέτρου

θα είναι :

$\widehat {PBS} = \widehat {POS}$ ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο .

: Τριπλό θαύμα.png (25.3 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

γ) Αν η

κόψει την

στο

η τετράδα : $\left( {P,S\backslash J,M} \right)$ είναι αρμονική με λόγο , $\dfrac{{MP}}{{MS}} = \dfrac{{JP}}{{JS}} = \dfrac{1}{2}$ .

Αφού δε $OM \bot OJ$ , στο $\vartriangle OSP$ , η

είναι εσωτερική διχοτόμος του .Άρα $\omega = 2\theta$ .

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο θα έχω: $2O{P^2} = {4^2} - {2^2} = 12 \Rightarrow OP = \sqrt 6$ .

Έτσι προσδιορίζεται το

. Από το $\vartriangle OAP$ και θ. συνημίτονου :

$\cos \theta = \dfrac{{16 + 6 - 4}}{{8\sqrt 6 }} = \dfrac{9}{{4\sqrt 6 }}$ και άρα : $\boxed{\cos \omega = \cos 2\theta = 2{{\cos }^2}\theta - 1 = 2\dfrac{{81}}{{16 \cdot 6}} - 1 = \dfrac{{162 - 96}}{{16 \cdot 6}} = \dfrac{{6 \cdot 11}}{{6 \cdot 16}} = \dfrac{{11}}{{16}}}$ .

Τριπλό θαύμα

Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Μέλη σε σύνδεση