Προμελετημένη εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Προμελετημένη εφαπτομένη.png (20.7 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Στο εξωτερικό του ισοσκελούς τριγώνου ABC

, σχεδιάζουμε ημικύκλια των οποίων τα μέσα ονομάζουμε

M , S , N

. Πώς πρέπει να κατασκευάσουμε το τρίγωνο , ώστε η γωνία $\widehat{MSN}$ , να έχει εφαπτομένη

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 24, 2023 8:11 pm
Προμελετημένη εφαπτομένη.pngΣτο εξωτερικό του ισοσκελούς τριγώνου , σχεδιάζουμε ημικύκλια των οποίων τα μέσα ονομάζουμε

. Πώς πρέπει να κατασκευάσουμε το τρίγωνο , ώστε η γωνία $\widehat{MSN}$ , να έχει εφαπτομένη ;

Αρκεί να υπολογίσω το λόγο $\dfrac{b}{a}.$ Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο AMBD

είναι

$\displaystyle AD = \frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{2},MD = x\sqrt 2 ,AM = MB = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}$ και από θεώρημα Πτολεμαίου:

: Προμελετημένη εφαπτομένη.png (22.04 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές

$\displaystyle \frac{{b\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{a}{2} + \frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{2}} \right) = xb\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{a + \sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{4}}$ (1)

$\displaystyle \tan \frac{\theta }{2} = \dfrac{x}{{x + \dfrac{a}{2}}} = \frac{{2x}}{{2x + a}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{a + \sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{3a + \sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}}$ (2)

Αλλά, $\displaystyle 2 = \tan \theta = \frac{{2\tan \dfrac{\theta }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\theta }{2}}} \Leftrightarrow \tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$ και από την (2),

$\boxed{ \frac{b}{a} = \sqrt {\frac{3}{2}}}$

Προμελετημένη εφαπτομένη

Προμελετημένη εφαπτομένη

Re: Προμελετημένη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση