Η κάτω κορυφή

KARKAR · #1

: Η κάτω κορυφή.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Κύκλος διερχόμενος από τα σημεία B(0,5)

και

, τέμνει τις πλευρές

και

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου OAB

, στα σημεία

και

αντίστοιχα . Δείξτε

ότι η τέταρτη κορυφή

, του παραλληλογράμμου BPQT

, είναι σημείο της ευθείας

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 19, 2024 1:46 pm
Η κάτω κορυφή.pngΚύκλος διερχόμενος από τα σημεία και , τέμνει τις πλευρές και

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου , στα σημεία και αντίστοιχα . Δείξτε

ότι η τέταρτη κορυφή , του παραλληλογράμμου , είναι σημείο της ευθείας .

Η ευθεία

διέρχεται από δύο γνωστά σημεία $B\left( {0,5} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {1,2} \right)$ οπότε βρίσκω εύκολα την εξίσωσή της και είναι :

$BS:\,\,3x + y - 5 = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,.$ Για κάθε

πραγματική παράμετρο , η εξίσωση : $\left( {x - 0} \right)\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 5} \right)\left( {y - 2} \right) + k\left( {3x + y - 5} \right) = 0$ ή

${x^2} + {y^2} + \left( {3k - 1} \right)x + \left( {k - 7} \right)y + 10 - 5k = 0\,\,\left( 2 \right)$ παριστάνει πραγματική καμπύλη ( γιατί επαληθεύεται από τα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ ) άρα είναι κύκλος .

: η κάτω κορυφή.png (19.72 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

Για να βρω το

θέτω

και έχω : ${y^2} + \left( {k - 7} \right)y + 10 - 5k = 0$ κι επειδή η μα ρίζα της είναι το ${y_1} = 5$ και

${y_1}{y_2} = 10 - 5k \Rightarrow {y_2} = 2 - k$

Δηλαδή $P\left( {0,2 - k} \right)$ . Αν φέρω από το

παράλληλη στην

προκύπτει , $\boxed{Q\left( {2 - k,0} \right)}\,\,\left( 3 \right)$

Για το

θα λύσω το σύστημα της $\left( 2 \right)\,\,$ με την εξίσωση της $AB:\,\,x + y - 5 = 0$ και διαγράφοντας μεταξύ τους το

προκύπτει :

$x\left( {x + k - 2} \right) = 0$ , οπότε $T\left( {2 - k,y} \right)$ και άρα $TQ//OB\,\,\,.$

Η κάτω κορυφή

Η κάτω κορυφή

Re: Η κάτω κορυφή

Μέλη σε σύνδεση