Η ομορφιά της συμμετρίας

KARKAR · #1

: Η ομορφιά της συμμετρίας.png (16.74 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

Η πλευρά

του τριγώνου ABC

, είναι σταθερή διάμετρος ενός κύκλου , ενώ η κορυφή

κινείται

επί του κύκλου . Ονομάζω

την προβολή του

πάνω στην

και

, το αντιδιαμετρικό του

.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού

του σημείου

, ως προς κέντρο συμμετρίας το

.

S.E.Louridas · #2

Στο σχήμα που ακολουθεί και με την βοήθεια απλής γεωμετρίας (το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα

δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο στην ευθεία που ανήκει η τρίτη πλευρά και μάλιστα ισούται με το μισό της ...) έχουμε:

$\displaystyle{x_0^2 + y_0^2 = 1,\;x = 3{x_0},\;y = {y_0} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + {y^2} = 1,}$

που σημαίνει ότι το σημείο

κινείται σε έλλειψη.

: kart..png (58.03 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 26, 2024 7:02 pm
Η ομορφιά της συμμετρίας.pngΗ πλευρά του τριγώνου , είναι σταθερή διάμετρος ενός κύκλου , ενώ η κορυφή κινείται

επί του κύκλου . Ονομάζω την προβολή του πάνω στην και , το αντιδιαμετρικό του .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού του σημείου , ως προς κέντρο συμμετρίας το .

Ας είναι αρχή συστήματος συντεταγμένων με αρχή το κέντρο

του κύκλου , οριζόντιος άξονας η ευθεία της διαμέτρου

.

Αν $A\left( {k,m} \right)$ θα ισχύει : ${k^2} + {m^2} = {r^2}\,\,\,\left( 1 \right)$ , με

τη σταθερή ακτίνα του κύκλου . Θα ισχύουν ακόμα :

$D\left( {k,0} \right)\,\,,\,\,A'\left( { - k, - m} \right)$ και αφού το

είναι μέσο του A'S

. Αν $S\left( {x,y} \right)$ θα ισχύει : $S\left( {3k,m} \right)$ . Δηλαδή :

: Η ομορφιά της συμμετρίας.png (27.05 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

$\left\{ \begin{gathered} k = \frac{x}{3} \hfill \\ m = y \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει την εξίσωση του τόπου : $\boxed{\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = {r^2} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {3r} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{r^2}}} = 1}$

Έλλειψη με κορυφές $D\left( {3r,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,D'\left( { - 3r,0} \right)$ και στο κατακόρυφο $Z\left( {0,r} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z'\left( {0, - r} \right)$ ενώ έχει εστίες :

$E'\left( { - 2r\sqrt 2 ,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E\left( {2r\sqrt 2 ,0} \right)$ .

S.E.Louridas · #4

Ας το γενικεύσουμε λίγο, ελπίζοντας βέβαια στην συγκατάθεση του Θανάση.

Στο σχήμα που ακολουθεί ο κύκλος έχει εξίσωση $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = 1,}$ το σημείο

είναι κινητό σημείο που διατρέχει το ευθύγραμμο τμήμα

που είναι και διάμετρος του κύκλου και επίσης ισχύει $\displaystyle{\frac{{MD}}{{MA}} = \frac{u}{v},}$ όπου τα u, v

είναι μέτρα διδόμενων ευθύγραμμων

τμημάτων, όπου το τμήμα με μέτρο το

είναι μη μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα.

Τότε έχουμε
$\displaystyle{A\left( {{x_0},{y_0}} \right),\;\,M\left( {x,y} \right) \Rightarrow x = {x_0},\;y = \frac{u}{v}{y_0}}$

για να καταλήξουμε έτσι στην εξίσωση: $\displaystyle{{x^2} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{u}{v}} \right)}^2}}} = 1,}$ αφού ισχύει x_0^2 + y_0^2 = 1.

: hell.png (54.45 KiB) Προβλήθηκε 670 φορές

Η ομορφιά της συμμετρίας

Η ομορφιά της συμμετρίας

Re: Η ομορφιά της συμμετρίας

Re: Η ομορφιά της συμμετρίας

Re: Η ομορφιά της συμμετρίας

Μέλη σε σύνδεση