Τριγωνική αστάθεια

KARKAR · #1

: Τριγωνική αστάθεια.png (53.92 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Σε κύκλο

"εγγράφουμε" τετράγωνο KLMN

με τις κορυφές K , L

σε μεταβλητή οριζόντια χορδή

και τις

, σημεία του κύκλου . Το

είναι ο νότιος πόλος του κύκλου . Υπολογίστε το μέγιστο του (SKL)

.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Έστω

το ύψος του $\triangle KLS$ από το

Έστω

η πλευρά του KLMN

Έστω

ο Βόρειος Πόλος και $\{D\}=NM\cap SC$

Είναι d+a=SC>r=1

οπότε
επειδή $ND^2=DC\cdot DS$ (τετράγωνο ύψους σε ορθογώνιο ορθογώνιο τρίγωνο)
βρίσκουμε $d=1-a+\sqrt{1-\dfrac{a^2}{4}}$

Οπότε το $(SKL)=\dfrac{1}{2}\cdot d\cdot a$ μεγιστοποιείται για μια τιμή του

για την οποία βρίσκουμε (με παραγώγους) ότι
$(2-a^2)=(2a-1)\sqrt{4-a^2}$ $\ (*)$
Από την τελευταία βρίσκουμε $\dfrac{1}{2}<a<\sqrt{2}$ (Π)

Η (*)

δίνει για $a\ne0$
5a^3-4a^2-19a+16=0

Από τις ρίζες της τελευταίας, τον περιορισμό (Π) ικανοποιεί η $a\approx 0.85205$ $\blacksquare$

Τριγωνική αστάθεια

Τριγωνική αστάθεια

Re: Τριγωνική αστάθεια

Μέλη σε σύνδεση