Σταθερό ύψος

[KARKAR]

Σταθερό ύψος.png (20.86 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο έχει ύψος : και ακτίνα εγκύκλου . Από σημείο , το οποίο

κινείται στην προέκταση της βάσης , φέρουμε την άλλη εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις , στα σημεία

αντίστοιχα . Δείξτε ότι το σημείο τομής των , βρίσκεται σε σταθερή απόσταση (πόση ; ) από την βάση .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Σταθερό ύψος.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο έχει ύψος : και ακτίνα εγκύκλου . Από σημείο , το οποίο

κινείται στην προέκταση της βάσης , φέρουμε την άλλη εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις , στα σημεία

αντίστοιχα . Δείξτε ότι το σημείο τομής των , βρίσκεται σε σταθερή απόσταση (πόση ; ) από την βάση .

Σταθερό ύψος.png (30.42 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

Από το Θεώρημα του Brianchon προκύπτει ότι από το σημείο τομής των διαγωνίων του περιγεγραμμένου στον κύκλο τετραπλεύρου ( εκφυλισμένο περιγεγραμενο εξάγωνο )διέρχονται και τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα σημεία επαφής των απέναντι πλευρών του με τον κύκλο

Έτσι η απόσταση από την είναι σταθερή και ίση με την απόσταση των παραλλήλων (προφανώς παράλληλες λόγω του ισοσκελούς τριγώνου) με την σε σταθερή θέση αφού τα δεδομένα (ύψος και ακτίνα έγκυλου του τριγώνου ) δίνουν σταθερό τρίγωνο.

Αν τότε από το εφαπτομενικό τμήμα και την τέμνουσα του κύκλου θα είναι και από την δύναμη σημείου ως προς τον περίκυκλο του τετραπλεύρου (λόγω των ορθών γωνιών (λόγω των επαφών)) θα είναι
Αν (προφανώς , αφού ) με και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί