Μεγάλο πράγμα

KARKAR · #1

: Μεγάλο πράγμα.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές

Στη διάμετρο

και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημεία S , T

, αντίστοιχα

τέτοια ώστε : AS=AT

. Ασχοληθείτε με το θέμα της μεγιστοποίησης του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 09, 2024 5:30 pm Μεγάλο πράγμα.pngΣτη διάμετρο και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημεία , αντίστοιχα

τέτοια ώστε : . Ασχοληθείτε με το θέμα της μεγιστοποίησης του τμήματος .

.
Χωρίς βλάβη AB=1

. Θέτουμε

οπότε από Θεώρημα Stewart έχουμε

$AT^2\cdot SB + TB^2\cdot AS = AB\cdot (ST^2+AS\cdot SB)$ . Δηλαδή

x^2(1-x)+(1^2-x^2)x=1(ST^2+x(1-x))

ισοδύναμα

.

Βρίσκουμε το μέγιστο με παραγώγιση ή, αλλιώς, με ΑΜ-ΓΜ γράφοντας

$2x^2-2x^3 = 8 \cdot \dfrac {x}{2} \cdot \dfrac {x}{2} \cdot (1-x) \le 8 \left ( \dfrac {\dfrac {x}{2} + \dfrac {x}{2} + 1-x}{3} \right )^3 = \dfrac {8}{27}$

με ισότητα όταν $\frac {x}{2}=1-x$ , ισοδύναμα $x= \frac {2}{3}$ . Τα υπόλοιπα άμεσα.

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 09, 2024 5:30 pm Μεγάλο πράγμα.pngΣτη διάμετρο και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημεία , αντίστοιχα

τέτοια ώστε : . Ασχοληθείτε με το θέμα της μεγιστοποίησης του τμήματος .

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο. Θέτω AB=d, AD=x.

Είναι $\displaystyle A{S^2} = A{T^2} = xd$ και με νόμο συνημιτόνου στο AST

έχω:

: Μεγάλο πράγμα.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές

$\displaystyle S{T^2} = 2A{T^2} - 2A{T^2}\cos A = 2xd - 2xd\frac{x}{{\sqrt {xd} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{S{T^2} = 2xd - 2x\sqrt {xd} }$

με τη βοήθεια παραγώγων τώρα, βρίσκω $\boxed{S{T_{\max }} = \frac{{2d}}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }$ όταν $\boxed{x = \frac{{4d}}{9}}$

Μεγάλο πράγμα

Μεγάλο πράγμα

Re: Μεγάλο πράγμα

Re: Μεγάλο πράγμα

Μέλη σε σύνδεση