Υπάρχει μέγιστος λόγος

KARKAR · #1

: Υπάρχει μέγιστος λόγος.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Σημείο

κινείται στην διχοτόμο

, του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος .

Προφανώς αν το

συμπέσει με το

ή με το

, ο λόγος : $\dfrac{SC}{SB}$ , ισούται με $\dfrac{4}{3}$ .

Για ποια θέση του

μεγιστοποιείται αυτός ο λόγος ; ( Μπορούμε να γενικεύσουμε ; )

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 10, 2024 9:58 am Υπάρχει μέγιστος λόγος.pngΣημείο κινείται στην διχοτόμο , του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος .

Προφανώς αν το συμπέσει με το ή με το , ο λόγος : $\dfrac{SC}{SB}$ , ισούται με $\dfrac{4}{3}$ .

Για ποια θέση του μεγιστοποιείται αυτός ο λόγος ; ( Μπορούμε να γενικεύσουμε ; )

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο συνημιτόνων στα ABD, ACD

είναι:

: Υπάρχει μέγιστος λόγος.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές

$\displaystyle \frac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{{x^2} + 16 - 4x\sqrt 2 }}{{{x^2} + 9 - 3x\sqrt 2 }},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

$\boxed{{\left( {\frac{{SC}}{{SB}}} \right)_{\max }} = \sqrt 2}$ όταν $\boxed{x=\sqrt 2}$

Γενικεύεται για AB=c, AC=b

και η θέση του

είναι $\displaystyle x = \frac{{b + c - a}}{{\sqrt 2 }}=(\tau-a)\sqrt 2$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 10, 2024 9:58 am Υπάρχει μέγιστος λόγος.pngΣημείο κινείται στην διχοτόμο , του ορθογωνίου τριγώνου του σχήματος .

Προφανώς αν το συμπέσει με το ή με το , ο λόγος : $\dfrac{SC}{SB}$ , ισούται με $\dfrac{4}{3}$ .

Για ποια θέση του μεγιστοποιείται αυτός ο λόγος ; ( Μπορούμε να γενικεύσουμε ; )

$\dfrac{CS}{BS}=max$ για την τιμή του

για την οποία $\dfrac{CS^2}{BS^2} =max$

$\dfrac{CS^2}{BS^2} = \dfrac{(4-x)^2+x^2}{(3-x)^2+x^2 } =1+ \dfrac{7-2x}{2x^2-6x+9}$

Ψάχνουμε λοιπόν το

για το οποίο το κλάσμα $y=\dfrac{7-2x}{2x^2-6x+9}$ παίρνει μέγιστη τιμή

$y=\dfrac{7-2x}{2x^2-6x+9} \Leftrightarrow 2x^2y-(6y-2)x+9y-7=0$

Απαιτούμε $D \geq 0 \Leftrightarrow -9y^2+8y+1 \geq 0 \Rightarrow y \leq 1$ και το ίσον λαμβάνεται για x=1

και $\dfrac{CS}{BS} _{max} = \sqrt{2}$

: Μέγιστος λόγος.png (32.09 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Υπάρχει μέγιστος λόγος

Υπάρχει μέγιστος λόγος

Re: Υπάρχει μέγιστος λόγος

Re: Υπάρχει μέγιστος λόγος

Μέλη σε σύνδεση