Δευτερεύον ημίτονο

KARKAR · #1

: Δευτερεύον ημίτονο.png (17.59 KiB) Προβλήθηκε 399 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το προς την υποτείνουσα ύψος

, η διχοτόμος

και η διάμεσος

, διέρχονται από το ίδιο σημείο ( έστω

) . Υπολογίστε το : $\sin C$ .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 19, 2024 1:02 pm Δευτερεύον ημίτονο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το προς την υποτείνουσα ύψος , η διχοτόμος

και η διάμεσος , διέρχονται από το ίδιο σημείο ( έστω ) . Υπολογίστε το : $\sin C$ .

Από Ceva έχουμε

$1= \dfrac {BM}{MA}\cdot \dfrac {AE}{EC}\cdot \dfrac {CD}{DB}= 1 \cdot \dfrac {c}{a}\cdot \dfrac {b\cos C}{c\cos B}=$

$= \dfrac {b}{a}\cdot \dfrac {\cos C}{\cos B}= \cos C\cdot \dfrac {\cos C}{\cos B}=\dfrac {1- \sin ^2 C}{\sin C}$

Άρα $\sin C = 1 -\sin ^2 C$ , που ως δευτεροβάθμια ως προς $\sin C$ δίνει $\sin C = \dfrac {1}{2} (\sqrt 5-1})$

Αυτό ολοκληρώνει την λύση αλλά ο πειρασμός είναι να γράψουμε την απάντηση ελκυστικότερα ως $\dfrac {1}{\phi}$ .

ksofsa · #3

Καλησπέρα.

Λίγο διαφορετικά:

Από Ceva και Θαλή, προκύπτει η παραλληλία των AB,DE

.

Από θ. διχοτόμου και Θαλή,

$sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\frac{BD}{AD}}{\frac{DC}{AD}}=tan^2C\Rightarrow sin^2C+sinC-1=0\Rightarrow sinC=\dfrac{1}{\phi}.$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 19, 2024 1:02 pm Δευτερεύον ημίτονο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το προς την υποτείνουσα ύψος , η διχοτόμος

και η διάμεσος , διέρχονται από το ίδιο σημείο ( έστω ) . Υπολογίστε το : $\sin C$ .

Θεωρώ στο ορθογώνιο $\vartriangle ABC$ το ύψος , $AD\,$ και τη διχοτόμο

που τέμνονται στο

. ( θα είναι AS = AE

αλλά δεν μου χρειάζεται).

Η

θα διέρχεται από το μέσο του

αν

( και αντίστροφα) .

Τότε στο τραπέζιο ABDE

το σημείο

αν το ενώσω με το σημείο τομής των διαγωνίων η ευθεία αυτή θα διέρχεται από τα μέσα των βάσεων .

Επιπλέον δε $DE \bot EC\,\,.$ Τώρα αναγκαστικά DB = DS

οπότε $\vartriangle DAB = \vartriangle ECD.$

Πάμε τώρα στους υπολογισμούς .

: Δευτερεύον ημίτονο.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

$AB = DC \Rightarrow c = \dfrac{{{b^2}}}{a} \Rightarrow {b^2} = ac\,\,\left( 1 \right)$ , από το Π. Θ. ισχύει ${a^2} - {c^2} = {b^2}$ , οπότε λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτει : ${a^2} - {c^2} = ac$ . Αν θέσω c = ax

η τελευταία γίνεται : ${a^2} = {a^2}{x^2} = {a^2}x \Rightarrow {x^2} + x - 1 = 0$ , συνεπώς $\boxed{x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{1}{\varphi }}$ Αλλά $x = \dfrac{c}{a} = \sin \theta$ δηλαδή , $\boxed{\sin \theta = \dfrac{1}{\varphi }}$ .

Παρατήρηση , για την Γεωμετρική κατασκευή : Χωρίζω σε μέσο και άκρο λόγο , από το σημείο

, τμήμα

.

Η κάθετος στο

επί την

τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

.

Δευτερεύον ημίτονο

Δευτερεύον ημίτονο

Re: Δευτερεύον ημίτονο

Re: Δευτερεύον ημίτονο

Re: Δευτερεύον ημίτονο

Μέλη σε σύνδεση