mathematica.gr • Όλοι ακέραιοι

Σελίδα 1 από 1

Όλοι ακέραιοι

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 02, 2024 10:03 am

από KARKAR

: Όλοι ακέραιοι.png (11.96 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Η

είναι διάμεσος του τριγώνου ABC

ABC

και όλα τα τμήματα του σχήματος

έχουν ακέραια μήκη . Βρείτε το ελάχιστο μήκος της βάσης

.

Re: Όλοι ακέραιοι

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 02, 2024 11:04 am

από Mihalis_Lambrou

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 02, 2024 10:03 am
Όλοι ακέραιοι.pngΗ είναι διάμεσος του τριγώνου και όλα τα τμήματα του σχήματος

έχουν ακέραια μήκη . Βρείτε το ελάχιστο μήκος της βάσης .

Από το θεώρημα διαμέσων έχουμε $c^2+(c+2)^2=2(c-2)^2 + \frac {1}{2}a^2$ . Μαζεύοντας ομοειδείς όρους βρίσκουμε

a^2=8(3c-1)

a^2=8(3c-1)

. Παίρνοντας διαδοχικά c=3,4,5,...

c=3,4,5,...

στο δεξί μέλος θα βρούμε τέλεια τετράγωνα στις περιπτώσεις

α) c= 3

c= 3

, από όπου a^2=64

a^2=64

, άρα

a=8

. Τότε το υποψήφιο τρίγωνο έχει πλευρές (a,c+2,c)=(8,5,3)

(a,c+2,c)=(8,5,3)

που απορρίπτεται λόγω τριγωνικής. Όμως το επόμενο (και άρα το ζητούμενο μικρότερο) είναι

β) c= 11

c= 11

, από όπου a^2=256

a^2=256

, άρα

a=16

. Τότε το τρίγωνο έχει πλευρές (a,c+2,c)=(16,13,11)

(a,c+2,c)=(16,13,11)

, δεκτό.