Κατασκευή με ερωτηματικό

KARKAR · #1

: Κατασκευή με ερωτηματικό.png (16.76 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Οι

, είναι οι διχοτόμοι των οξειών γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου ABC

.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο με τρόπο ώστε οι δύο μοβ γωνίες να είναι ίσες ;

#2

Όχι, καθότι από ιδιότητες διχοτόμων κλπ καταλήγουμε στην τριτοβάθμια 4(c/b)^3-5(c/b)^2+4(c/b)-1-0.

[Μία πραγματική ρίζα που δίνει $c/b\approx 0,371$ -- όπως ακριβώς στο σχήμα του Θανάση, όπου $b\approx 18 cm$ και $c\approx 6,66 cm.$ ]

#3

gbaloglou έγραψε: Πέμ Νοέμ 21, 2024 2:04 pm Όχι, καθότι από ιδιότητες διχοτόμων κλπ καταλήγουμε στην τριτοβάθμια

Κάποιες λεπτομέρειες τώρα που έχω περισσότερο χρόνο:

Από την ισότητα των μωβ γωνιών προκύπτει η $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AD}$ και η $AD^2=AB\cdot AE.$

Από ιδιότητες διχοτόμων προκύπτουν -- μέσω $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{c}{a}, AD+CD=b$ και $\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{b}{a}, AE+BE=c$ -- οι (γνωστές) ισότητες

$AD=\dfrac{bc}{a+c}$ και $AE=\dfrac{bc}{a+b}.$

Αντικαθιστώντας στην $AD^2=AB\cdot AE$ λαμβάνουμε διαδοχικά τις

b(a+b)=(a+c)^2,

Κατασκευή με ερωτηματικό

Κατασκευή με ερωτηματικό

Re: Κατασκευή με ερωτηματικό

Re: Κατασκευή με ερωτηματικό

Μέλη σε σύνδεση