Οπωσδήποτε εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Οπωσδήποτε εφαπτομένη.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

Προεκτείνουμε την ακτίνα

του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα BP=x

και την

, κατά τμήμα : AS=mx

, έτσι ώστε η

να εφάπτεται του τόξου .

α) Αν : x=1

, υπολογίστε το

.

β) Αν m=4

, υπολογίστε ( ενδεχομένως με βοήθεια λογισμικού ) το

.

Προαιρετικό ερώτημα : Πως νομίζετε ότι βρίσκεται αυτή η ρίζα (του β)) ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 05, 2025 12:17 pm
Οπωσδήποτε εφαπτομένη.pngΠροεκτείνουμε την ακτίνα του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα

και την , κατά τμήμα : , έτσι ώστε η να εφάπτεται του τόξου .

α) Αν : , υπολογίστε το .

β) Αν , υπολογίστε ( ενδεχομένως με βοήθεια λογισμικού ) το .

Προαιρετικό ερώτημα : Πως νομίζετε ότι βρίσκεται αυτή η ρίζα (του β)) ;

Bολεύει να γράψουμε mx=y

.

Από τρεις φορές Πυθαγόρειο στα POT, SOT, POS

έχουμε

$PT=\sqrt {(x+4)^2-4^2}=\sqrt {x^2+8x} ,\, TS=\sqrt {y^2+8y}, \, \sqrt {(x+4)^2+(y+4)^2}$ .

H ισότητα PS=PT+TS

γράφεται

$\sqrt {(x+4)^2+(y+4)^2}= \sqrt {x^2+8x}+\sqrt {y^2+8y}$

Με ύψωση στο τετράγωνο ισοδυναμεί με την

$16 = \sqrt {x^2+8x}\sqrt {y^2+8y}$ . Με νέα ύψωση στο τετράγωνο οδηγεί στην δευτεροβάθμια ως προς

. Άρα $\boxed{ y= \dfrac {4(x+4)}{\sqrt {x^2+8x}} -4}$

Οπότε α) για x=1

είναι $m=y= \dfrac {4(1+4)}{\sqrt {1^2+8}} -4 = \dfrac {8}{3}$ .

β) Για m=4

λύνουμε ως προς

την $4x= \dfrac {4(1+4)}{\sqrt {1^2+8}} -4$ , ισoδύναμα

x^4+10x^3+16x^2-16=0

. To λογισμικό βρήκε $x\approx 0,80489$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 05, 2025 12:17 pm

Προαιρετικό ερώτημα : Πως νομίζετε ότι βρίσκεται αυτή η ρίζα (του β)) ;

.
Ευρέθη.

Η εξίσωση x^4+10x^3+16x-16=0

γράφεται

$\left (x^2+(5-\sqrt 5)x+2\sqrt 5-2\right )\left (x^2+(5+\sqrt5)x-2\sqrt 5-2\right )=0$ , που είναι τώρα απλή.

Συγκεκριμένα, αν έκανα σωστά τις πράξεις, οι ρίζες είναι

$-\dfrac { 5+\sqrt 5 \pm \sqrt { 38+18\sqrt 5}}{2}$ , και δύο μιγαδικές.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 05, 2025 12:17 pm
Οπωσδήποτε εφαπτομένη.pngΠροεκτείνουμε την ακτίνα του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα

και την , κατά τμήμα : , έτσι ώστε η να εφάπτεται του τόξου .

α) Αν : , υπολογίστε το .

β) Αν , υπολογίστε ( ενδεχομένως με βοήθεια λογισμικού ) το .

Προαιρετικό ερώτημα : Πως νομίζετε ότι βρίσκεται αυτή η ρίζα (του β)) ;

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το αντιδιαμετρικό του

( εν πειράζει που δεν φαίνεται σ αυτό το σχήμα .)

Όπως θα εργαστώ στην απλή α περίπτωση εργάζομαι και στην β περίπτωση .

Η τετράδα : $\left( {P,E\backslash Z,B} \right)$ είναι αρμονική και άρα $\dfrac{{BE}}{{BP}} = \dfrac{{ZE}}{{ZP}}$ . Θέτω EB = y

κι έχω , $\dfrac{y}{x} = \dfrac{{8 - y}}{{8 + x}} \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{{4x}}{{4 + x}}}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

: Οποσδήποτε εφαπτομένη.png (16.74 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές

Επειδή $T{E^2} = EP \cdot EZ = \left( {x + y} \right)\left( {4 - y} \right) \Rightarrow \boxed{TE = \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {4 - y} \right)} }\,\,\,\left( 2 \right)$ Επίσης $\dfrac{{TE}}{{OS}} = \dfrac{{PE}}{{PO}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{TE}}{{4 + mx}} = \frac{{x + y}}{{4 + x}}}\,\,\,\left( 3 \right)$ .

Λόγω της $\left( 2 \right)$ έχω : $\dfrac{{TE}}{{OS}} = \dfrac{{PE}}{{PO}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {4 - y} \right)} }}{{4 + mx}} = \dfrac{{x + y}}{{4 + x}}}\,\,\,\left( 4 \right)$ . Από το σύστημα των (1)

και

,

α) αν $\boxed{x = 1 \Rightarrow m = \dfrac{8}{3}}$ ενώ από το β) αν $\boxed{m = 4\, \Rightarrow x = \sqrt {\dfrac{{9\sqrt 5 + 19}}{2}} - \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{2}}$ .

: Οποσδήποτε εφαπτομένη_ok.png (27.64 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Παρατήρηση .

Το σύστημα που προκύπτει από την ημετέρα λύση στην περίπτωση που είναι :

$\left\{ \begin{gathered} y = \frac{{4x}}{{x + 4}} \hfill \\ \frac{{\sqrt {x\left( {x + 8} \right)} }}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

έχει 4 πραγματικές ρίζες : τις προφανείς , $x = 0\,\,,\,\,x = - 8$ την ρίζα που κρατάμε : $\boxed{x = \sqrt {\frac{{9\sqrt 5 + 19}}{2}} - \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}}$ και την

$x = - \sqrt {\dfrac{{9\sqrt 5 + 19}}{2}} - \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{2}$ που απορρίπτεται .

Οπωσδήποτε εφαπτομένη

Οπωσδήποτε εφαπτομένη

Re: Οπωσδήποτε εφαπτομένη

Re: Οπωσδήποτε εφαπτομένη

Re: Οπωσδήποτε εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση