Τ-τόπος

KARKAR · #1

: Τ-τόπος.png (8.87 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές

Τμήμα

μήκους

, κινείται έχοντας τα άκρα του στις ευθείες y=2x

και

. Οι κάθετες

προς τις ευθείες στα S , P

, τέμνονται στο σημείο

, του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2025 6:56 am
Τ-τόπος.pngΤμήμα μήκους , κινείται έχοντας τα άκρα του στις ευθείες και . Οι κάθετες

προς τις ευθείες στα , τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

Θέτουμε $S(s,2s), \, P(p,0)$ . H SP=4

δίνει $(p-s)^2+(2s)^2=4^2 , \, (*)$ . H

ως κάθετη της y=2x

στο

είναι (μετά τις απλοποιήσεις) η x+2y=5s

. Η

είναι η

. Οι συντεταγμένες του

ικανοποιούν και τις δύο αυτές εξισώσεις. Άρα από την (*)

$\left (x- \dfrac {x+2y}{5}\right ) ^2 + \left (\dfrac {2(x+2y)}{5}\right ) ^2=4^2$ από όπου $\boxed {x^2+y^2=20}$ .

Είναι κύκλος που τέμνει την y=2x

στα

και

αλλά κρατάμε μόνο το ημικύκλιο δεξιά της ευθείας, με διάμετρο

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 26, 2025 6:56 am
Τ-τόπος.pngΤμήμα μήκους , κινείται έχοντας τα άκρα του στις ευθείες και . Οι κάθετες

προς τις ευθείες στα , τέμνονται στο σημείο , του οποίου αναζητούμε τον γεωμετρικό τόπο .

: Τ_Τόπσ.png (25.14 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στον κατακόρυφο άξονα. θέτω $\widehat {SOB} = \theta$ και OT = PB = r

.

Ταυτόχρονα : $\cos \theta = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\cos \theta = \dfrac{4}{r}$

Συνεπώς : ${r^2} = 20$ . Δηλαδή κύκλος με εξίσωση : $\boxed{{x^2} + {y^2} = {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}$

Διευκρινίσεις .

Αφού $\tan \theta = \dfrac{1}{2}$ έχω , $\cos \theta = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$ , ( $1 + {\left( {\tan \theta } \right)^2} = \dfrac{1}{{{{\left( {\cos \theta } \right)}^2}}}$ )

Ενώ από το ορθογώνιο $\vartriangle SBP$ , $\cos \theta = \dfrac{{SP}}{{BP}} = \dfrac{4}{r}$ , (ορισμός )

Ο κύκλος του τόπου δεν είναι ο πάνω κύκλος του σχήματος , αλλά το μπλε ημικύκλιο που περιγράφει αναλυτικά ο Κ. Λάμπρου.

: Τ_Τόπσ_ok.png (39.98 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές

Τ-τόπος

Τ-τόπος

Re: Τ-τόπος

Re: Τ-τόπος

Μέλη σε σύνδεση