Σπουδαίο τραπέζιο

KARKAR · #1

: Σπουδαίο τραπέζιο.png (8.9 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

Σημείο

κινείται στην ευθεία y=3

. Η κάθετη της

στο

, τέμνει την y=0

στο σημείο

. Θεωρούμε σημείο

της

, για το οποίο $\widehat{OCA}=\widehat{ACB}$ .

α) Δείξτε ότι : OC=2AB

... β) Για ποιο

το τραπέζιο γίνεται ισοσκελές ;

γ) Για ποιο

, το σημείο τομής των διαγωνίων είναι το : $S(\dfrac{7}{2} ,2)$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 14, 2025 7:30 am
Σπουδαίο τραπέζιο.pngΣημείο κινείται στην ευθεία . Η κάθετη της στο , τέμνει την

στο σημείο . Θεωρούμε σημείο της , για το οποίο $\widehat{OCA}=\widehat{ACB}$ .

α) Δείξτε ότι : ... β) Για ποιο το τραπέζιο γίνεται ισοσκελές ;

γ) Για ποιο , το σημείο τομής των διαγωνίων είναι το : $S(\dfrac{7}{2} ,2)$ ;

α) Αν οι

τέμνονται στο

τότε η

είναι μεσοκάθετος του OK,

οπότε

β) Θέτω

οπότε

Αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές θα είναι και AO=b

και $\displaystyle \sin \theta = \frac{{OA}}{{OC}} = \frac{1}{2},$ άρα $\displaystyle \theta = 30^\circ ,$ επομένως $\boxed{a=\sqrt 3}$

: Σπουδαίο τραπέζιο.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

γ) Με νόμο συνημιτόνου στο ABC

βρίσκω $\displaystyle AC = 2b\cos \theta$ και με Π.Θ στο OAC,

$\displaystyle b = \frac{{{a^2} + 9}}{{2a}}.$

Αλλά, $\displaystyle \frac{3}{{a + b}} = \tan \omega = \frac{2}{{7/2}} = \frac{4}{7} \Leftrightarrow 4a + 4\frac{{{a^2} + 9}}{{2a}} = 21 \Leftrightarrow 2{a^2} - 7a + 6 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=2}$ ή $\boxed{a=\dfrac{3}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 14, 2025 7:30 am
Σπουδαίο τραπέζιο.pngΣημείο κινείται στην ευθεία . Η κάθετη της στο , τέμνει την

στο σημείο . Θεωρούμε σημείο της , για το οποίο $\widehat{OCA}=\widehat{ACB}$ .

α) Δείξτε ότι : ... β) Για ποιο το τραπέζιο γίνεται ισοσκελές ;

γ) Για ποιο , το σημείο τομής των διαγωνίων είναι το : $S(\dfrac{7}{2} ,2)$ ;

Με $AD//BC \Rightarrow AD=CD\Rightarrow AD$ διάμεσος προς την υποτείνουσα,

άρα OC=2OA=2AB

(Αφού

είναι ρόμβος)

Όταν το τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε το τρίγωνο AOD

προφανώς είναι ισόπλευρο άρα $a=\sqrt{3}$

: Σπουδαίο τραπέζιο.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα OAK,OSN

προφανώς είναι όμοια,άρα $\dfrac{a}{1}= \dfrac{3}{x } \Rightarrow x= \dfrac{3}{a}$ και $\dfrac{BN}{ \dfrac{7}{2} }= \dfrac{1}{2} \Rightarrow BN= \dfrac{7}{4}$

Τώρα από $\dfrac{BN}{NK}= \dfrac{BS}{SA}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{7}{4} }{a+ \dfrac{a}{3} } = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2a^2-7a+6=0$ απ όπου a=2

ή $\alpha = \dfrac{3}{2}$

: Σπουδαίο τραπέζιο2.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Σπουδαίο τραπέζιο

Σπουδαίο τραπέζιο

Re: Σπουδαίο τραπέζιο

Re: Σπουδαίο τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση