Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο

#1

: Αριθμητική πρόοδος.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 1418 φορές

Έστω

το έγκεντρο τριγώνου ABC

με $\widehat B=2\widehat C$ και $BI=\dfrac{b}{3}.$ α) Να δείξετε ότι οι πλευρές c, a, b

είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον τύπο του τριγώνου. β) Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AI}{BI}.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: Τετ Ιουν 04, 2025 9:12 am Αριθμητική πρόοδος.png
Έστω το έγκεντρο τριγώνου με $\widehat B=2\widehat C$ και $BI=\dfrac{b}{3}.$ α) Να δείξετε ότι οι πλευρές είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον τύπο του τριγώνου. β) Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AI}{BI}.$

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει την

στο

οπότε το

είναι ισοσκελές

τραπέζιο και μάλιστα $BI=IE=EC=\dfrac{b}{3}$

Από θ.διχοτόμου $BD= \dfrac{ac}{b+c}$ και

$\dfrac{AB}{BD}= \dfrac{AI}{ID}= \dfrac{AE}{EC}=2 \Rightarrow \dfrac{c }{ \dfrac{ac}{b+c} }=2 \Rightarrow b+c=2a$

Επειδή CI,BE

διχοτόμοι των γωνιών ACB,IBC

θα είναι

$\angle ABE= \angle AEB= \dfrac{3C}{2} \Rightarrow AE=AB=c \Rightarrow EC=b-c$

$AE=2EC\Rightarrow c=2(b-c) \Rightarrow 3c=2b$ κι από την b+c=2a

έχουμε

$b= \dfrac{6a}{5} ,c= \dfrac{4a}{5}$ και με a=5k , k>0

το τρίγωνο είναι της μορφής (c,a,b)=(4k,5k,6k)

Από την $BD= \dfrac{ac}{b+c}$ εύκολα τώρα BD=2k

άρα

$AD^2=bc-BD.DC=18k^2\Rightarrow AD=3k \sqrt{2}$ και $\dfrac{AI}{IB} = \dfrac{AI}{IE}= \dfrac{AD}{DC}= \dfrac{3k \sqrt{2} }{3k}= \sqrt{2}$

: Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 1390 φορές

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: Τετ Ιουν 04, 2025 9:12 am Αριθμητική πρόοδος.png
Έστω το έγκεντρο τριγώνου με $\widehat B=2\widehat C$ και $BI=\dfrac{b}{3}.$ α) Να δείξετε ότι οι πλευρές είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον τύπο του τριγώνου. β) Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AI}{BI}.$

α) Από γνωστή βασική άσκηση $b^{2}=c^{2}+ca,(1),IBC,IC^{2}=\dfrac{b^{2}}{9}+\dfrac{ab}{3},(2),BT=\tau -b,TC=\tau -c, IC^{2}=r^{2} +(\tau -c)^{2},(3),(1),(2),(3)\Rightarrow b-c=\dfrac{b}{3}\Leftrightarrow 3c=2b,6a=5b,3c=2b, (c,b,a)=(4\lambda ,5\lambda ,6\lambda )$

β) $r^{2}=\dfrac{b^{2}}{9}-(\tau -b)^{2},AI^{2}=r^{2}+(\tau -a)^{2}\Rightarrow AI^{2}=\dfrac{2b^{2}}{9}, \dfrac{AI^{2}}{BI^{2}}=2\Leftrightarrow \dfrac{AI}{BI}=\sqrt{2}$

#4

george visvikis έγραψε: Τετ Ιουν 04, 2025 9:12 am Αριθμητική πρόοδος.png
Έστω το έγκεντρο τριγώνου με $\widehat B=2\widehat C$ και $BI=\dfrac{b}{3}.$ α) Να δείξετε ότι οι πλευρές είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον τύπο του τριγώνου. β) Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AI}{BI}.$

Γράφω τον κύκλο $\left( {A,b} \right)$ που τέμνει την

στο

. Επειδή

θα είναι όλες οι κόκκινες γωνίες ίσες. Και οι πράσινες το ίδιο.

Το τετράπλευρο BCTI

είναι ισοσκελές τραπέζιο και $\vartriangle AIB = \vartriangle AIT$ , αφού δε , 3BI = AC

αν θέσω το TC = 2k

θα είναι :

$AC = AE = 6k\,\,,\,\,EB = BA = AT = 2k$ , Ας είναι ακόμα BC = x

. Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχω :

$EB \cdot BC = A{C^2} - A{B^2} \Rightarrow 4kx = 36{k^2} - 16{k^2} \Rightarrow x = 5k$ , δηλαδή , $AB = 4k\,\,,\,\,BC = 5k\,\,,\,\,AC = 6k$ .

β) Με

διχοτόμο στο $\vartriangle ABC$ , το $\vartriangle BDI$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

: Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 1317 φορές

(η κάθε μια παρά τη βάση του

γωνίες είναι το άθροισμα μιας κόκκινης και μιας πράσινης γωνίας)

Συνεπώς $BD = 2k \Rightarrow DC = 5k - 2k = 3k$ . Επειδή $A{D^2} = AB \cdot AC - DB \cdot DC = 24{k^2} - 6{k^2} \Rightarrow AD = 3k\sqrt 2 \,\,\,\left( 1 \right)$

Αλλά $\vartriangle DAC \approx \vartriangle IAB$ οπότε και λόγω της $\left( 1 \right)$ : $\dfrac{{DA}}{{IA}} = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{IB}} = \dfrac{{3k}}{{2k}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IB}} = \dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{3k\sqrt 2 }}{{3k}} = \sqrt 2$

Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο

Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο

Re: Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο

Re: Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο

Re: Ειδικό προοδευτικό τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση