Το μικρότερο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Το μικρότερο ορθογώνιο.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Σε σημείο

, κύκλου

, φέραμε εφαπτομένη επί της οποίας κινείται σημείο

. Η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο σημείο

, ενώ η κάθετη προς την

στο

, τέμνει

την εφαπτομένη στο σημείο

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου QTP

. ( $\bigstar$ )

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιουν 14, 2025 5:28 pm Το μικρότερο ορθογώνιο.pngΣε σημείο , κύκλου , φέραμε εφαπτομένη επί της οποίας κινείται σημείο . Η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο σημείο , ενώ η κάθετη προς την στο , τέμνει

την εφαπτομένη στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . ( $\bigstar$ )

: Το μικρότερο ορθογώνιο.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιουν 14, 2025 5:28 pm Το μικρότερο ορθογώνιο.pngΣε σημείο , κύκλου , φέραμε εφαπτομένη επί της οποίας κινείται σημείο . Η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο σημείο , ενώ η κάθετη προς την στο , τέμνει

την εφαπτομένη στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου . ( $\bigstar$ )

Θέτω

οπότε $OP=\sqrt{x^2+r^2}, PQ=r+\sqrt{x^2+r^2}$

και με Πυθαγόρειο στο QTP

βρίσκω $\displaystyle y = \frac{r}{x}\left( {r + \sqrt {{x^2} + {r^2}} } \right).$

: Το μικρότερο ορθογώνιο.png (15.58 KiB) Προβλήθηκε 956 φορές

$\displaystyle (QTP) = \frac{1}{2}yPQ = \frac{{r{{\left( {r + \sqrt {{x^2} + {r^2}} } \right)}^2}}}{{2x}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων

βρίσκω $\boxed{ {(QTP)_{\min }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}{r^2}}$ όταν $\boxed{x=y=r\sqrt 3}$

Το μικρότερο ορθογώνιο

Το μικρότερο ορθογώνιο

Re: Το μικρότερο ορθογώνιο

Re: Το μικρότερο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση