Εξαρτημένο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Εξαρτημένο εμβαδόν.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές

Προεκτείνουμε την χορδή AB=a

, κύκλου

, κατά τμήμα BS=x

και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα

. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου TAB

. Δώστε ( ενδιαφέρον ) αριθμητικό παράδειγμα !

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 26, 2025 9:48 am
Εξαρτημένο εμβαδόν.pngΠροεκτείνουμε την χορδή , κύκλου , κατά τμήμα και φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Δώστε ( ενδιαφέρον ) αριθμητικό παράδειγμα !

Ας είναι $M,\,N\,$ τα μέσα των $AB\,\,,\,\,BS$ και

το κέντρο του κύκλου $\left( {T,B,S} \right)$ . Προφανώς οι γωνίες με ίδιο χρώμα είναι ίσες .

Έστω ακόμα $TP = h\,\,\,$ το κοινό ύψος των $\vartriangle TAB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TBS$ και $TS = y = \sqrt {x\left( {x + a} \right)}$ .

Από το νόμο ημιτόνου στο $\vartriangle TBS$ ισχύει , $\dfrac{{\sin \left( {\omega + \theta } \right)}}{y} = \dfrac{{\sin \omega }}{x}$ , απ’ όπου με απλές πράξεις, $\tan \omega = \dfrac{{x\sin \theta }}{{\sqrt {x\left( {x + a} \right)} - x}}\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Ενώ εν γένει $\sin \omega = \dfrac{{\tan \omega }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\omega } }}\,\,\,\left( { * * } \right)$
.

: Εξαρτημένο εμβαδόν_μια λύση.png (40.25 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

.
Τα τρίγωνα $\vartriangle TAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TBS$ έχουν κοινό ύψος , TP = h

έχουν από μια γωνία ίση ενώ τα $\vartriangle BST\,\,,\,\,\vartriangle TSA$ είναι όμοια.

Από τον τύπο $\beta \gamma = 2R{\upsilon _\alpha }$ ισχύουν , $yTB = 2Rh\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TA \cdot TB = 2rh\,\,\,\left( 2 \right)$ διαιρώ κι έχω , $TA = \dfrac{{yr}}{R}\,\,\left( 3 \right)$ .

Επειδή οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες θα ισχύει , $\dfrac{{\left( {TAB} \right)}}{{\left( {TBS} \right)}} = \dfrac{{aTA}}{{yTB}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \left( {TAB} \right) = \dfrac{{ar}}{{R \cdot TB}}\left( {TBS} \right)$ και λόγω της yTB = 2Rh

,

$\boxed{\left( {TAB} \right) = \dfrac{{arxy}}{{4{R^2}}}}$ με $y = \sqrt {x\left( {x + 2} \right)}$ το δε

υπολογίζεται από το $\vartriangle LNB$ με τη βοήθεια των $\left( * \right)\,\,,\,\,\left( { * * } \right)$ .

Παράδειγμα : $r = 10\,\,,\,\,a = 16\,\,,\,\,x = 18$ για να είναι το $\vartriangle MOA\,\,$ με ακέραιες πλευρές και να γίνει εύκολα ο υπολογισμός

των $y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,R$ . Ακόμη πιο εύκολα αν επιλέξω κατάλληλο

ώστε η

να γίνει κατακόρυφη εφαπτομένη του

Αριστερού κύκλου.

: Εξαρτημένο εμβαδόν_Υπολογισμοί.png (94.16 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Παρατήρηση .

Η λύση δεν μου αρέσει για αυτό έφερα και την άλλη εφαπτομένη από το , προέκυψε αρμονικό τετράπλευρο και αρμονικές δέσμες αλλά κάπου σκάλωσε ένας υπολογισμός.

Εξαρτημένο εμβαδόν

Εξαρτημένο εμβαδόν

Re: Εξαρτημένο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση