Μια όμορφη εξίσωση

GeorgePe · #1

Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
$\ \frac{1}{x^{2}+x} + \frac{1}{x^{2}+6x+8} + \frac{1}{x^{2}+10x+24} + \frac{1}{x^{2}+14x+48} = \frac{1}{5} \$

#2

GeorgePe έγραψε: Παρ Σεπ 26, 2025 2:12 pm Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
$\ \frac{1}{x^{2}+x} + \frac{1}{x^{2}+6x+8} + \frac{1}{x^{2}+10x+24} + \frac{1}{x^{2}+14x+48} = \frac{1}{5} \$

Μήπως υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα; Μήπως ο σωστός πρώτος όρος είναι $\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+{\color {red} 2}x}}$ ;

Tolaso J Kos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Σεπ 26, 2025 4:15 pm
GeorgePe έγραψε: Παρ Σεπ 26, 2025 2:12 pm Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση:
$\ \frac{1}{x^{2}+x} + \frac{1}{x^{2}+6x+8} + \frac{1}{x^{2}+10x+24} + \frac{1}{x^{2}+14x+48} = \frac{1}{5} \$
Μήπως υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα; Μήπως ο σωστός πρώτος όρος είναι $\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}+{\color {red} 2}x}}$ ;

Συμφωνώ. Με αυτό που προτείνει ο Μιχάλης, έχουμε ένα τηλεσκοπικό άθροισμα. Η εξίσωση ορίζεται όταν $x \in \mathbb{R} \setminus \{ -8, -6, -4, -2, 0 \}$ . Αθροίζοντας τηλεσκοπικά έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{x^2+2x} + \frac{1}{x^2+6x+8} + \\ \quad \quad +\frac{1}{x^2+10x+24} + \frac{1}{x^2+14x+48} & = \sum_{k=0}^{3} \frac{1}{\left( x+2k \right)\left( x+2k+2 \right)} \\ & = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{3} \left( \frac{1}{2k+x} - \frac{1}{2k+x+2} \right) \\ & = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+8} \right) \end{aligned}}$
Άρα,

$\displaystyle{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+8} \right) = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & -10 \\ x & = & 2 \\ \end{matrix}\right.}$

λύσεις που γίνονται αμφότερες δεκτές.

Μια όμορφη εξίσωση

Μια όμορφη εξίσωση

Re: Μια όμορφη εξίσωση

Re: Μια όμορφη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση