Εξίσωση με παραγοντικά

[Al.Koutsouridis]

Οι είναι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι. Το άθροισμα διαιρείται με το , αλλά ο καθένας εκ των προσθετέων σε αυτό το άθροισμα, όχι. Να αποδείξετε ότι κάποιοι εκ των αριθμών διαφέρουν λιγότερο από . Θυμίζουμε ότι με συμβολίζουμε το γινόμενο όλων των αριθμών από το έως το , δηλαδή .


Πηγή: Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων, Αγία Πετρούπολη 2025

[αρψ2400]

Οι είναι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι. Το άθροισμα διαιρείται με το , αλλά ο καθένας εκ των προσθετέων σε αυτό το άθροισμα, όχι. Να αποδείξετε ότι κάποιοι εκ των αριθμών διαφέρουν λιγότερο από . Θυμίζουμε ότι με συμβολίζουμε το γινόμενο όλων των αριθμών από το έως το , δηλαδή .


Πηγή: Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων, Αγία Πετρούπολη 2025

Έστω (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι , , , και .
Επίσης ισχύει ότι .
Εφόσον τα και αποτελούνται από περισσότερους από παράγοντες το καθένα , διαιρούνται από το το και το .Άρα η παρένθεση
δεν διαιρείται ούτε με το ,ούτε με το , ούτε με το .Άρα το διαιρεί αναγκαστικά το , άτοπο.