Παράλληλες χορδές

KARKAR · #1

: Παράλληλες χορδές.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές

Από τα σημεία A(-3,4)

και

του κύκλου x^2+y^2=25

, φέρω τις παράλληλες χορδές

και

.

Για ποια θέση του

το γινόμενο : $AS\cdot BT$ , ισούται με

. Ποια είναι η μέγιστη τιμή αυτού του γινομένου ;

duamba · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 20, 2025 8:31 am
Παράλληλες χορδές.pngΑπό τα σημεία και του κύκλου , φέρω τις παράλληλες χορδές και .

Για ποια θέση του το γινόμενο : $AS\cdot BT$ , ισούται με . Ποια είναι η μέγιστη τιμή αυτού του γινομένου ;

: parallilesChordes.png (22.28 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

Εφόσον οι

και

είναι παράλληλες, το ABTS

είναι ισοσκελές τραπέζιο, δηλαδή AB = ST

.

Απο θεώρημα Πτολεμαίου: $AS \cdot BT + AB \cdot ST = AT\cdot BS$ , και στην συγκεκριμένη περίπτωση: $AS \cdot BT + AB^2 = BS^2 \hspace{2pt} (1)$

H απόσταση

είναι: $\sqrt{(-3+4)^2 + (4+3)^2)} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ και εφόσον θέλουμε $AS \cdot BT = 30$ , η (1)

μεταμορφώνεται στον κύκλο κέντρου

:

, οι τομές του οποίου με τον δοθέντα x^2+y^2=25

απαντάνε στο α' ερώτημα.

Για το β', το γινόμενο θα γίνει μέγιστο όταν AS = BT

, δηλαδή όταν το ABTS

γίνει ορθογώνιο (οπότε οι δύο διαγώνιες θα ισούνται με 2r=10

).
Πάλι απο θεώρημα Πτολεμαίου: $a^2 + b^2 = 4r^2 \Leftrightarrow 50 + b^2 = 100 \Leftrightarrow b=\sqrt{50} = a$ .

Βλέπουμε λοιπόν πως το μέγιστο γινόμενο είναι ίσο με

, όταν το

είναι τετράγωνο.

Παράλληλες χορδές

Παράλληλες χορδές

Re: Παράλληλες χορδές

Μέλη σε σύνδεση