Μέγιστη διαφορά

KARKAR · #1

: Μέγιστη διαφορά.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές

Σε κύκλο ακτίνας

εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές ισούνται με

.

Υπολογίστε την μέγιστη ( θετική ) διαφορά μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων ADC

και

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2026 4:55 pm
Μέγιστη διαφορά.pngΣε κύκλο ακτίνας εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές ισούνται με .

Υπολογίστε την μέγιστη ( θετική ) διαφορά μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων και .

: Μεγ διαφ.png (21.48 KiB) Προβλήθηκε 49 φορές

.
Θέτουμε $AD=a, \, BC=b$ οπότε το κοινό ύψος των τριγώνων είναι $h= \sqrt {r^2 - \left ( \dfrac {b-a}{2} \right )^2 }$ .

Γράφοντας για τυπογραφική ευκολία t=b-a

έχουμε

$E = (ADC)-(ABC) = \dfrac {1}{2} bh-\dfrac {1}{2} bh= \dfrac {1}{2}(b-a)h= \dfrac {1}{2}(b-a)\sqrt {r^2 - \left ( \dfrac {b-a}{2} \right )^2 }=$

$= \dfrac {t}{2}\sqrt {r^2 - \left ( \dfrac {t}{2} \right )^2 }\le \dfrac {1}{2} \left ( \dfrac {t^2}{4} + \left (r^2 - \left ( \dfrac {t}{2} \right )^2 \right ) \right ) = \boxed {\dfrac {1}{2} r^2}$

Αυτό δίνει το ζητούμενο μέγιστο, που το πετυχαίνουμε για $b-a=t= r\sqrt 2$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2026 4:55 pm
Μέγιστη διαφορά.pngΣε κύκλο ακτίνας εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές ισούνται με .

Υπολογίστε την μέγιστη ( θετική ) διαφορά μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων και .

Αλλιώς. Φέρνω CE||AB

και είναι:

: Μέγιστη διαφορά.Κ.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 24 φορές

$\displaystyle (ADC) - (ABC) = (CED) = \frac{1}{2}{r^2}\sin \theta \leqslant \frac{1}{2}{r^2},$

με την ισότητα να επιτυγχάνεται όταν το τρίγωνο CED

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Μέγιστη διαφορά

Μέγιστη διαφορά

Re: Μέγιστη διαφορά

Re: Μέγιστη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση