Τριγωνισμός ημικυκλίου

KARKAR · #1

: Τριγωνισμός ημικυκλίου.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

Το κέντρο

του ημικυκλίου διαμέτρου AKB=2r

, κινείται στον ημιάξονα

, ώστε :

.

Η εφαπτομένη του τόξου από το

, τέμνει την εφαπτομένη στο

, στο σημείο

. Βρείτε το ελάχιστο

εμβαδόν του τριγώνου OBC

. Προαιρετικά βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 6:23 am
Τριγωνισμός ημικυκλίου.pngΤο κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου , κινείται στον ημιάξονα , ώστε : .

Η εφαπτομένη του τόξου από το , τέμνει την εφαπτομένη στο , στο σημείο . Βρείτε το ελάχιστο

εμβαδόν του τριγώνου . Προαιρετικά βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

: Τριγωνισμός ημικυκλίου.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 6:23 am
Τριγωνισμός ημικυκλίου.pngΤο κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου , κινείται στον ημιάξονα , ώστε : .

Η εφαπτομένη του τόξου από το , τέμνει την εφαπτομένη στο , στο σημείο . Βρείτε το ελάχιστο

εμβαδόν του τριγώνου . Προαιρετικά βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

.

: τριγων.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 61 φορές

.
Θέτουμε OK=x

. Είναι τότε $OD=\sqrt {OA\cdot OB}= \sqrt {(x-r)(x+r)}$ .

Από τα όμοια τρίγωνα ODK, OBC

έχουμε $\dfrac {r}{OD}=\dfrac {h}{OB}$ , οπότε $h=\dfrac {r\sqrt {x+r}} {\sqrt {x-r}}$ .

Άρα

$(OBC)= \dfrac {1}{2} OB\cdot h= \dfrac {1}{2} \dfrac {r(x+r)\sqrt {x+r}} {\sqrt {x-r}}$ .

Με παραγώγιση έχει ελάχιστο όταν x=2r

, οπότε $\boxed {(OBC)_{min}=\dfrac {1}{2}3\sqrt 3 r^2}$

Τα παραπάνω επαρκούν για να βρεθεί η εξίσωσή του γεωμετρικού τόπου του

δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του είναι C(x+r,h)

.
Βγαίνει (άμεσο) ότι είναι

$\boxed {y= \dfrac {r\sqrt x} {\sqrt {x-2r}}}$

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα.
.

: τριγων 2.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

#4

Η λύση μου στο πρώτο ερώτημα είναι ίδια με του Μιχάλη, οπότε δεν χρειάζεται να τη γράψω.
Να πω απλώς ότι κατά τη στιγμή της ελαχιστοποίησης το

(στο σχήμα μου), είναι μέσο του

και το τρίγωνο OBC

είναι της μορφής $(30^\circ-90^\circ-60^\circ).$

Τριγωνισμός ημικυκλίου

Τριγωνισμός ημικυκλίου

Re: Τριγωνισμός ημικυκλίου

Re: Τριγωνισμός ημικυκλίου

Re: Τριγωνισμός ημικυκλίου

Μέλη σε σύνδεση