Μαξιμαλιστικός λόγος

KARKAR · #1

: Μαξιμαλιστικός λόγος.png (21.87 KiB) Προβλήθηκε 24 φορές

Επί ημιευθείας η οποία έχει αρχή την κορυφή

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

και είναι παράλληλη

και ομόρροπη προς την βάση

, κινείται σημείο

. Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SB}{SC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2026 12:13 pm
Μαξιμαλιστικός λόγος.pngΕπί ημιευθείας η οποία έχει αρχή την κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου και είναι παράλληλη

και ομόρροπη προς την βάση , κινείται σημείο . Βρείτε την μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{SB}{SC}$ .

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ASB, ASC

είναι:

: Μαξιμαλιστικός λόγος.png (17.02 KiB) Προβλήθηκε 13 φορές

$\displaystyle \frac{{S{B^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{{x^2} + ax + {a^2}}}{{{x^2} - ax + {a^2}}}\le 3,$ με την ισότητα να ισχύει όταν $\boxed{x=a}$

Άρα, $\boxed{ {\left( {\frac{{SB}}{{SC}}} \right)_{\max }} = \sqrt 3}$

#3

Καλημέρα σε όλους. Παρόμοια με του Γιώργου, με χρήση παραγώγων.

: 09-5-2026 Γεωμετρία.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 6 φορές

Έστω πλευρά τριγώνου

.

$\displaystyle B\left( {0,0} \right),\;A\left( {\frac{1}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),\;C\left( {1,0} \right),\;\;S\left( {a,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

Το πηλίκο $\displaystyle \frac{{BS}}{{SC}}$ γίνεται μέγιστο όταν το $\displaystyle {\left( {\frac{{SC}}{{BS}}} \right)^2}$ γίνει ελάχιστο.

Αναζητούμε το ελάχιστο του $\displaystyle {\left( {\frac{{SC}}{{BS}}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{{a^2} + \frac{3}{4}}} = 1 + \frac{{1 - 2a}}{{{a^2} + \frac{3}{4}}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( a \right) = \frac{{4 - 8a}}{{4{a^2} + 3}}$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( a \right) = \frac{{8\left( {4{a^2} - 4a - 3} \right)}}{{{{\left( {4{a^2} + 3} \right)}^2}}}$ και παρουσιάζει ελάχιστο για $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ .

Οπότε $\displaystyle {\frac{{BS}}{{SC}}_{\max }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)}^2} + \frac{3}{4}} }} = \sqrt 3$ .

#4

Και εδώ μια προεκτασούλα:

Αποδείξτε ότι για τη θέση του

για την οποίαν έχουμε μέγιστο πηλίκο $\displaystyle \frac{BS}{SC}$ , το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του BSC

είναι το

.

Μαξιμαλιστικός λόγος

Μαξιμαλιστικός λόγος

Re: Μαξιμαλιστικός λόγος

Re: Μαξιμαλιστικός λόγος

Re: Μαξιμαλιστικός λόγος

Μέλη σε σύνδεση