Τετριμμένο ελάχιστο

KARKAR · #1

: Τετριμμένο μέγιστο.png (16.15 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

Η απόσταση

των δύο παράλληλων ημιευθειών είναι

. Σημείο

κινείται στην κάτω ημιευθεία .

Η μεσοκάθετος του

τέμνει το τμήμα

στο σημείο

και την άνω ημιευθεία στο σημείο

.

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου OSTQ

. Εφαρμογή για : OA=6

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 26, 2026 7:42 am Τετριμμένο μέγιστο.pngΗ απόσταση των δύο παράλληλων ημιευθειών είναι . Σημείο κινείται στην κάτω ημιευθεία .

Η μεσοκάθετος του τέμνει το τμήμα στο σημείο και την άνω ημιευθεία στο σημείο .

Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου . Εφαρμογή για : .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle A{Q^2} = Q{S^2} \Leftrightarrow {(a - y)^2} = {x^2} + {y^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y=\frac{a^2-x^2}{2a}}$ (1)

Από τα όμοια τρίγωνα AQM, AOS

και

έχω, $\displaystyle \frac{{QM}}{x} = \frac{{AM}}{a} = \frac{{MS}}{a} \Leftrightarrow \frac{x}{a} = \frac{{QM}}{{MS}} = \frac{{QS}}{{AT}}$

Άρα, $\displaystyle AT = \frac{{aQS}}{x} = \frac{{a(a - y)}}{x}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} AT = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{{2x}}$

: Τετριμμένο ελάχιστο.png (13.73 KiB) Προβλήθηκε 43 φορές

$\displaystyle (OSTQ) = \left( {OSTA} \right) - (OAT) = \frac{{(x + AT)a}}{2} - \frac{{AT(a - y)}}{2} = \frac{{ax}}{2} + \frac{{yAT}}{2} = \frac{{ax}}{2} + \frac{{{a^4} - {x^4}}}{{8ax}},$

όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι για $\boxed{ x = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}}$ παίρνει ελάχιστη τιμή $\boxed{ {(OSTQ)_{\min }} = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}}$

Για την εφαρμογή είναι $\boxed{(OSTQ)_{\rm min}=10\sqrt 3}$

Τετριμμένο ελάχιστο

Τετριμμένο ελάχιστο

Re: Τετριμμένο ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση