Μηχανική μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Μηχανική μεγιστοποίηση.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές

Το

είναι το μέσο του τμήματος AB=d

. Με διάμετρο την

γράφουμε ημικύκλιο ,

επί του οποίου κινείται σημείο

. Ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο του γινομένου $SA \cdot SB$

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 5:18 pm Μηχανική μεγιστοποίηση.pngΤο είναι το μέσο του τμήματος . Με διάμετρο την γράφουμε ημικύκλιο ,

επί του οποίου κινείται σημείο . Ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο του γινομένου $SA \cdot SB$

.
Για τυπογρφική ευκολία γράφουμε

d=4D

. Με αρχή των αξόνων το μέσον

του

έχουμε

A(-D,0), \, M(D,0),\, B(3D,0)

. To τυπικό σημείο S(x,y)

του κύκλου ικανοποιεί

x^2+y^2=D^2

(*). Είναι τότε

SA \cdot SB =\sqrt {(x+D)^2+y^2} \sqrt {(x-3D)^2+y^2} = \sqrt {x^2+y^2+ 2xD+ D^2} \sqrt {x^2+y^2-6xD+ 9D^2} = ^{(*)}

=\sqrt {(2D^2+ 2xD)(10D^2-6xD)} = \dfrac {D} {\sqrt 3} \sqrt {(6D+ 6x)(10D-6x)} \le \dfrac {D} {\sqrt 3} \dfrac {(6D+6x)+(10D-6x)}{2}=

= \dfrac {8D^2} {\sqrt 3} = \boxed {\dfrac {d^2\sqrt 3}{6} }

με ισότητα όταν

x=\dfrac {D}{3}=\dfrac {d}{12}

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 5:18 pm Μηχανική μεγιστοποίηση.pngΤο είναι το μέσο του τμήματος . Με διάμετρο την γράφουμε ημικύκλιο ,

επί του οποίου κινείται σημείο . Ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο του γινομένου $SA \cdot SB$

: Μηχαν.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

.
Έστω

το κέντρο του κύκλου, οπότε η ακτίνα του είναι

OA=r= \dfrac {d}{4}

Παρατηρούμε πρώτα ότι από Stewart στο τρίγωνο SAB

έχουμε

AS^2\cdot OB+ SB^2\cdot OA= AB\cdot OS^2+ AB\cdot OA\cdot OB

, ισοδύναμα

AS^2\cdot \dfrac {3d}{4} + SB^2\cdot \dfrac {d}{4} = d\cdot\left ( \dfrac {d}{4} \right )^2+ d\cdot \left ( \dfrac {d}{4} \right ) \cdot \left ( \dfrac {3d}{4} \right )

ή αλλιώς

\boxed {3AS^2+ SB^2= d^2 }

.

Άρα από A.M.-Γ.M. είναι

\sqrt 3 AS\cdot SB \le \dfrac {3AS^2+ SB^2}{2}= \dfrac {d^2}{2}

, από όπου

\boxed {AS\cdot SB \le \dfrac {d^2\sqrt 3}{6}}

, με ισότητα όταν

AS=\dfrac {d\sqrt 6}{6}, \, SB=\dfrac {d\sqrt 2}{2}

.

KARKAR · #4

Μιχάλη νάσαι καλά !

: Μηχανικό.png (6.96 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές

Μπορούμε αντί Stewart να χρησιμοποιήσουμε θ. διαμέσων :

SA^2+SB^2=2(\dfrac{d^2}{4}-SA^2)+\dfrac{d^2}{2}

,

δηλαδή :

3SA^2+SB^2=d^2

και να συνεχίσουμε όπως παραπάνω .

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Αύγ 11, 2026 4:18 pm Μιχάλη νάσαι καλά !

Μηχανικό.pngΜπορούμε αντί Stewart να χρησιμοποιήσουμε θ. διαμέσων : $SA^2+SB^2=2(\dfrac{d^2}{4}-SA^2)+\dfrac{d^2}{2}$ ,

δηλαδή : $3SA^2+SB^2=d^2$ και να συνεχίσουμε όπως παραπάνω .

.
Θανάση, σωστά. Να 'σαι καλά.

Το έχω υπόψη αλλά έγραψα την παραπάνω μέθοδο με Stewart γιατί γενικεύευται εύκολα. Συγκεκριμένα, το

μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο του

σε δοθέντα λόγο, όχι κατ' ανάγκη το μέσον. Μας δίνει παραστάσεις του τύπου

mSA^2+SB^2=nd^2

για κατάλληλα m,n

.

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 5:18 pm Μηχανική μεγιστοποίηση.pngΤο είναι το μέσο του τμήματος . Με διάμετρο την γράφουμε ημικύκλιο ,

επί του οποίου κινείται σημείο . Ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο του γινομένου $SA \cdot SB$

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα

SAO, SBO

βρίσκω:

: Μηχανική μεγιστοποίηση.png (9.96 KiB) Προβλήθηκε 61 φορές

S{A^2} = \dfrac{{{d^2}}}{8}(1 + \cos \theta ),S{B^2} = \dfrac{{{d^2}}}{8}(5 - 3\cos \theta ),

όπου αν θέσω

\cos \theta=x,

θα έχω

S{A^2} \cdot S{B^2} = \frac{{{d^4}}}{{64}}( - 3{x^2} + 2x + 5)

Αλλά, το

-3x^2+2x+5

ως τριώνυμο παρουσιάζει για $x=\dfrac{1}{3}$ μέγιστη τιμή ίση με

\dfrac{16}{3}.

Άρα,

\boxed{{(SA \cdot SB)_{\max }} = \dfrac{{{d^2}\sqrt 3 }}{6}}

όταν

\boxed{\cos \theta =\frac{1}{3}}

Εκ του αποτελέσματος προκύπτει ότι η

είναι εφαπτομένη του ημικυκλίου.

#7

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 5:18 pm Μηχανική μεγιστοποίηση.pngΤο είναι το μέσο του τμήματος . Με διάμετρο την γράφουμε ημικύκλιο ,

επί του οποίου κινείται σημείο . Ενδιαφερόμαστε για το μέγιστο του γινομένου $SA \cdot SB$

Μηχανική μεγιστοποίηση

Με αναλυτική γεωμετρία ,

r > 0\,\,,\,4r = d

ενώ

0 < k,m < r

.

\overrightarrow {AS} = (k + r,m)\,\,\,,\,\,\overrightarrow {BS} = (k - 3r,m)

. Έτσι ,

{(SA \cdot SB)^2} = ({(k + r)^2} + {m^2})({(k - 3r)^2} + {m^2})\,\,

Επειδή ,

{m^2} = {r^2} - {k^2}

η συνάρτηση

{(f(k))^2} = ( - 12{r^2}){k^2} + (8{r^3})k + 20{r^4}

( τριώνυμο)

: Μηχανική Μεγιστοποίηση.png (20.41 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές

Παρουσιάζει μέγιστο για

\boxed{{k_0} = \dfrac{{ - 8{r^3}}}{{24{r^2}}} = \dfrac{r}{3}}

με

{(f({k_0}))^2} = \dfrac{{64{r^4}}}{3}

,

οπότε το μέγιστο του γινομένου $SA \cdot SB$ είναι :

\boxed{\frac{{8{r^2}}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{{d^2}}}{{2\sqrt 3 }}}

Μηχανική μεγιστοποίηση

Μηχανική μεγιστοποίηση

Re: Μηχανική μεγιστοποίηση

Re: Μηχανική μεγιστοποίηση

Re: Μηχανική μεγιστοποίηση

Re: Μηχανική μεγιστοποίηση

Re: Μηχανική μεγιστοποίηση

Re: Μηχανική μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση