Μονοτονία και δείγμα από πιθανότητες

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega}$ ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του $\displaystyle{A,B}$ . Aν To δείγμα των

αριθμών $\displaystyle{P(\Omega),~P(\emptyset),~P(B'),~P(A-B),~P(A\cup B')}$ έχει μέση τιμή $\displaystyle{\bar x=\frac{13}{25}}$ και διάμεσο $\displaystyle{\delta=\frac{2}{5}}$

να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης : $\displaystyle{f(x)=-\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+\left(P(A-B)-\frac{3}{2}\right)x+\frac{5}{6}}$ .

#2

Είναι :
$\displaystyle{\emptyset \subseteq A \cap B' \subseteq B' \subseteq A \cup B' \subseteq \Omega \Rightarrow P(\emptyset ) \le P(A \cap B') \le P(B') \le P(A \cup B') \le P(\Omega )}$
Επομένως $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\delta = \frac{2}{5} \Rightarrow P(B') = \frac{2}{5} \Rightarrow P(B) = \frac{3}{5}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \overline x = \frac{{P(\emptyset ) + P(A \cap B') + P(B') + P(A \cup B') + P(\Omega )}}{5} = \\ \\ = \frac{{0 + P(A \cap B') + \frac{2}{5} + P(A \cup B') + 1}}{5} = \frac{{P(A) + P(B') + \frac{7}{5}}}{5} = \\ \\ = \frac{{P(A) + \frac{2}{5} + \frac{7}{5}}}{5} = \frac{{P(A) + \frac{9}{5}}}{5} = \frac{{13}}{{25}} \Leftrightarrow P(A) = \frac{{65}}{{25}} - \frac{{45}}{{25}} = \frac{4}{5} \\ \end{array}}$
$\displaystyle{f(x) = - \frac{1}{{12}}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + \left( {P(A - B) - \frac{3}{2}} \right)x + \frac{5}{6}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,f'(x) = - \frac{{{x^2}}}{4} + x + P(A - B) - \frac{3}{2}}$
Είναι : $\displaystyle{\Delta = 1 + P(A - B) - \frac{3}{2} = P(A - B) - \frac{1}{2} = P(A) - P(A \cap B) - \frac{1}{2} = \frac{4}{5} - P(A \cap B) - \frac{1}{2} = \frac{3}{{10}} - P(A \cap B)}$
Όμως :
$\displaystyle{0 \le P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1 \Leftrightarrow - \frac{7}{5} \le - P(A \cap B) \le - \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{3}{{10}} - P(A \cap B) \le - \frac{1}{{10}} < 0 \Rightarrow \Delta < 0}$
και $\displaystyle{{\rm{\alpha }} = - \frac{1}{4} < 0}$ , επομένως $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,f'(x) < 0 \Rightarrow f\,\,\, \searrow }$

hlkampel · #3

Γιώργος Απόκης έγραψε:Δίνεται ο δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega}$ ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά του $\displaystyle{A,B}$ . Aν To δείγμα των

αριθμών $\displaystyle{P(\Omega),~P(\emptyset),~P(B'),~P(A-B),~P(A\cup B')}$ έχει μέση τιμή $\displaystyle{\bar x=\frac{13}{25}}$ και διάμεσο $\displaystyle{\delta=\frac{2}{5}}$

να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης : $\displaystyle{f(x)=-\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{2}x^2+\left(P(A-B)-\frac{3}{2}\right)x+\frac{5}{6}}$ .

Μια ακόμη , παρόμοια λύση, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η μέση τιμή.

$\emptyset \subseteq \left( {A - B} \right) \subseteq B' \subseteq \left( {A \cup B'} \right) \subseteq \Omega \Rightarrow 0 \le P\left( {A - B} \right) \le P\left( {B'} \right) \le P\left( {A \cup B'} \right) \le 1$

Άρα $\displaystyle\delta = \frac{2}{5} \Rightarrow P\left( {B'} \right) = \frac{2}{5}$

$\displaystyle f'\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + x + P\left( {A - B} \right) - \frac{3}{2}$

$\displaystyle\Delta = 1 + P\left( {A - B} \right) - \frac{3}{2} = P\left( {A - B} \right) - \frac{1}{2}$

$\displaystyle A - B \subseteq B' \Rightarrow P\left( {A - B} \right) \le P\left( {B'} \right) \Rightarrow P\left( {A - B} \right) \le \frac{2}{5} \Rightarrow$

$\displaystyle P\left( {A - B} \right) - \frac{1}{2} \le \frac{2}{5} - \frac{1}{2} \Rightarrow \Delta \le - \frac{1}{{10}} \Rightarrow \Delta < 0$

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο

Γιώργος Απόκης · #4

Ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Πράγματι δεν είναι απαραίτητη η μέση τιμή!

Μονοτονία και δείγμα από πιθανότητες

Μονοτονία και δείγμα από πιθανότητες

Re: Μονοτονία και δείγμα από πιθανότητες

Re: Μονοτονία και δείγμα από πιθανότητες

Re: Μονοτονία και δείγμα από πιθανότητες

Μέλη σε σύνδεση