Μέγιστο εμβαδόν

Grosrouvre · #1

Με αφορμή το φετινό Θέμα Δ

Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν ενός τραπεζίου $\mathrm{A B} \Gamma \Delta$ , με $\mathrm{A B} / / \Gamma \Delta$ και $\Gamma \Delta > \mathrm{A B}$ , αν δίνεται ότι $\mathrm{A B} = \mathrm{A} \Delta = \mathrm{B} \Gamma = 1$ .

#2

: 02-07-2015 Γεωμετρία.jpg (4.75 KiB) Προβλήθηκε 1787 φορές

Αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές, έχουμε

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu \omega = \frac{x}{1} \Leftrightarrow x = \sigma \upsilon \nu \omega ,\;\;\;\eta \mu \omega = \frac{u}{1} \Leftrightarrow u = \eta \mu \omega$

Οπότε $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \frac{{2 + 2x}}{2} \cdot u = \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \omega } \right) \cdot \eta \mu \omega = \eta \mu \omega + \frac{1}{2}\eta \mu 2\omega ,\;\;0 < \omega < \frac{\pi }{2}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \eta \mu x + \frac{1}{2}\eta \mu 2x,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu 2x,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon {\nu ^2}x + \sigma \upsilon \nu x - 1 = 0,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ , που έχει δεκτή ρίζα $\displaystyle \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2}$ .

Εύκολα, με μελέτη προσήμου της $\displaystyle f'\left( x \right)$ βρίσκουμε ότι η f(x)

παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle \omega = \frac{\pi }{3}$ ,
με μέγιστο εμβαδό $\displaystyle \left( {ABCD} \right)_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$

#3

Grosrouvre έγραψε:Με αφορμή το φετινό Θέμα Δ

Να βρείτε το μέγιστο εμβαδόν ενός τραπεζίου $\mathrm{A B} \Gamma \Delta$ , με $\mathrm{A B} / / \Gamma \Delta$ και $\Gamma \Delta > \mathrm{A B}$ , αν δίνεται ότι $\mathrm{A B} = \mathrm{A} \Delta = \mathrm{B} \Gamma = 1$ .

Καλησπέρα.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχουμε:

: Μέγιστο εμβαδόν....png (5.49 KiB) Προβλήθηκε 1776 φορές

$\displaystyle{\left( {ABCD} \right) = E(x) = (x + 1)\sqrt {1 - {x^2}} }$ , 0<x<1

, με παράγωγο $\displaystyle{E'(x) = - \frac{{(x + 1)(2x - 1)}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}$ .

Άρα η συνάρτηση E(x)

παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle{x = \frac{1}{2}}$ , ίσο με $\boxed{{(ABCD)_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}}$

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση